2021～2022学年度第一学期期末学业水平诊断高二数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1.若数列的通项公式为，则该数列的第项为A.B.C.D.2.数列的通项公式可以为A.B.C.D.3.以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为A.B.C.D.4.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为A.B.C.D.且5.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，则第十层球的个数为A.B.C.D.6.已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，若\n，则点的横坐标为A.B.C.D.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则该双曲线的离心率为A.B.C.D.8.记不超过的最大整数为，如，.已知数列的通项公式，设数列的前项和为，则使的正整数的最大值为A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知公差为的等差数列中，，，其前项和为，则A.B.C.D.10.已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，实轴长为，则A.该双曲线的虚轴长为B.该双曲线的焦距为C.该双曲线的离心率为D.直线与该双曲线有两个公共点11.已知各项均为正数的等比数列满足，，其前项和为.数列\n的通项公式，设的前项和为，则下列说法正确的是A.数列的通项公式为B.C.随的增大而增大D.12.已知双曲线：，则下列说法正确的是A.双曲线的顶点到其渐近线的距离为B.若为的左焦点，点在上，则满足的点的轨迹方程为C.若在上，线段的中点为，则直线的方程为D.若为双曲线上任意一点，则到点和到直线的距离之比恒为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.在数列中，，，则.14.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，若线段中点的纵坐标为，则线段的长度为.15.将连续的正整数填入行列的方阵中，使得每行、每列、每条对角线上的数之和相等，可得到阶幻方.记阶幻方每条对角线上的数之和为，如右图：，那么的值为.16.已知直线是抛物线:的准线，半径为的圆过抛物线的顶点和焦点，且与相切，则抛物线的方程为；若为\n上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为.（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)已知等差数列的前项和为，，，若，对任意的正整数成立，求实数的取值范围.18.（12分）双曲线：的离心率，且过点.（1）求的值；（2）求与双曲线有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.19.(12分)已知数列的首项，前项和为，且满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和.20.(12分)已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上且在轴上方，.（1）求抛物线的方程；（2）已知直线：与曲线交于两点（点与点不重合），直线与轴、轴分别交于两点,直线与轴、轴分别交于两点，当四边形的面积最小时，求直线的方程.21.(12分)已知等比数列的公比，且，是\n的等差中项.数列的前项和为，满足，.（1）求和的通项公式；（2）设，求的前项和.22.(12分)设分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
