张掖市2021—2022学年高三年级第一次全市联考理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项正确）1．若集合，，且，则满足条件的实数的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．若是虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列说法不正确的是（）A．为不共线向量，若，则B．C．若，则与不一定共线D．若为平面内两个不相等向量，则平面内任意向量都可以表示为4．已知数据的平均数是6，数据的平均数是20，则（）A．15.4B．15C．14.4D．135．一个二元码是由0和1组成的数字串，其中称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）.\n已知某种二元码的码元满足如下校验方程组：，其中运算⊕定义为：．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于（）A．4B．5C．6D．76.若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为（）A.B.C.D.7．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则8．已知函数且对任意的，都有，若函数，则（）A．B．C．D．9．在等差数列中，且，则的最大值等于（）A．4B．6C．8D．910．已知是方程的根，是方程的根，则的值为（）A．2B．3C．6D．1011．已知是抛物线的焦点，直线与该抛物线交于第一象限内的两点A，B，若，则的值是()\nA．B．C．D．12．已知定义在上的函数和满足，且，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．第ⅠⅠ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．等比数列的公比，已知，，则的前项和__________．14．若命题“时，”是假命题，则的取值范围__________．15．如图，在矩形中，，为中点，抛物线的一部分在矩形内，点为抛物线顶点，点在抛物线上，在矩形内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为__________．\n16．“层层叠”是一款经典的木制益智积木玩具，它的设计理念来源于我国古代汉朝的黄肠题凑木模。玩法是先将木块三根为一层，交错叠高成塔（或者其他叠法），然后轮流抽取任意一层的一根木块，在抽取的过程中木塔倒塌则算输。如图，现用9根尺寸为的木条，叠成一个正方体，并编号1～9.小张抽出中间的5号木条后，正方体表面积由54变为64.若小王又把8号木条抽走，现在几何体的表面积为______.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共70分）17．（12分）若函数的图象与直线（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成等差数列，且公差为.（1）求函数的解析式；（2）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，且a、b、c成等比数列，，求的面积.18．（12分）某慈善机构举办一次募捐演出，有一万人参加，每人一张门票，每张100元.在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数\n，（，），随即按如右所示程序框图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．（Ⅰ）已知小曹在第一轮抽奖中被抽中，求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；（Ⅱ）若小叶参加了此次活动，求小叶参加此次活动收益的期望；（Ⅲ）若此次募捐除奖品和奖金外，不计其它支出，该机构想获得96万元的慈善款．问该慈善机构此次募捐是否能达到预期目标．19．（12分）如图，菱形与正的边长均为，且平面平面，平面，且，（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.\n20.（12分）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为。⑴求椭圆的方程；⑵设直线交于点，证明：点在定直线上。21．（12分）已知函数，（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若，对，恒有成立，求实数的取值范围.（二）选做题：本题满分10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22．（10分）已知直线的参数方程为：（为参数），曲线C的极坐标方程为：．（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求直线被曲线C截得的弦长．23．（10分）已知函数.\n（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.张掖市2021-2022学年第一学期高三第一次质量检测数学(理)答案一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分．）序号123456789101112答案CDDCBABCABAD二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)\n13．14．15．16.66三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共70分。）17．【解】（1），的图象与直线相切，且切点的横坐标依次成等差数列，且公差为.，∴..........6分（2）由（1）知∴，∵∴∴又∵a、b、c成等比数列，，，∴..........12分18．【解】（Ⅰ）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有共9个，设“小曹在第二轮抽奖中获奖”为事件，且事件所包含的基本事件有共2个，∴...........4分（Ⅱ）设小叶参加此次活动的收益为，的可能取值为，，\n．...........7分∴的分布列为9009900∴．..........9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，购票者每人收益期望为.∵有一万人购票，除奖金和奖品外，不计其它支出，∴该机构此次收益期望为元=万元，∵，∴该慈善机构此次募捐能达到预期目标...........12分19．【解】（1）如图，作于，连，平面平面，，平面，平面，且，又平面，且，，且，故四边形是平行四边形，，平面，平面，故平面...........5分（2），菱形，易知，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.则，有，\n设平面的一个法向量为，，，令，取，设平面的一个法向量为，由，，令，取，则，由题意知二面角是钝二面角，故二面角的余弦值是...........12分20.【解】⑴当时，直线为，令，得。即椭圆的上顶点为，所以，又的周长为，即，又，解得，所以椭圆的方程为..........4分⑵设，由，消去得，所以，..........6分又，所以直线的方程为，\n直线的方程为，..........7分联立直线、的方程得..........9分由得代入上式，得，所以点在定直线上。..........12分（其他解法酌情给分）21．【解】（1）因为在上单调递增，所以在恒成立，即在恒成立，当时，上式成立，当，有，需，而，，，，故综上，实数的取值范围是..............6分（2）设，，则，令，\n，在单调递增，也就是在单调递增，所以.当即时，，不符合；当即时，，符合当即时，根据零点存在定理，，使，有时，，在单调递减，时，，在单调递增，成立，故只需即可，有，得，符合综上得，..........12分（二）选做题：本题满分10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22．解：（1）直线的普通方程为..........2分由曲线得化成直角坐标方程为①..........5分（2）把直线参数方程化为标准参数方程\n（为参数）②，把②代入①得：整理，得设其两根为，则从而弦长为..........10分23．【解】（Ⅰ）由题意，，所以等价于或或.解得：或，所以不等式的解集为；..........5分（Ⅱ）由(1)可知,当时,取得最小值,所以，即，由柯西不等式得，整理得，当且仅当时,即时等号成立.\n所以的最小值为...............10分
