1.4角平分线第一章三角形的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时三角形三条内角的平分线
1．会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.(重点）2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．(难点）学习目标
在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ABC导入新课情境引入
活动1分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？三角形的内角平分线一发现：三角形的三条角平分线相交于一点.讲授新课
活动2分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.你能证明这个结论吗？
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．结论：三角形三个角的平分线相交于一点.怎样证明这个结论呢?试一试
点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：试试看，你会写出证明过程吗？AP是∠BAC的平分线BP是∠ABC的平分线PI=PHPG=PIPH=PG点P在∠BCA的平分线上ABCPFHDEIG
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明结论证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.DEFABCPNM
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？点P在∠A的平分线上.结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.DEFABCPNM
例1.如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)如果CD=4cm,AC的长;EDABC（1）解：∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E，∴DE=CD=4cm.∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE.在等腰直角三角形BDE中，
(2)求证:AB=AC+CD.EDABC（2）证明：由（1）的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD.
MENABCPOD例2：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,(1)求点O到△ABC三边的距离和.温馨提示：不存在垂线段———构造应用12
解：连接OCMENABCPOD(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
例3如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )A．110°B．120°C．130°D．140°A解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.
当堂练习1.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（）A.P为∠A，∠B两角平分线的交点B.P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点C.P为AC，AB两边上的高的交点D.P为AC，AB两边的垂直平分线的交点B【解析】∵点P到∠A的两边的距离相等，∴P在∠A的角平分线上，∵PA＝PB，∴点P在AB的垂直平分线上.∴P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点.
2.如图,△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB,∠CBE=∠ABE,且AC=6cm,那么线段BE是∠ABC的，AE+DE=.CABED角平分线6cm
3.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A.△ABC的三条中线的交点B.△ABC三边的中垂线的交点C.△ABC三条角平分线的交点D.△ABC三条高所在直线的交点C
4.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.求证：CF=EB.证明：∵AD平分∠CAB,DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,∴CD＝DE(角平分线的性质).在Rt△CDF和Rt△EDB中,CD=ED（已证）,DF=DB（已知）,∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB（全等三角形的对应边相等）.CFAEDB
拓展思维5.如图,直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可选择的地址有几处?画出它的位置.
P1P2P3P4l1l2l3
三角形内角平分线的性质性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．课堂小结应用：位置的选择问题.
