哈尔滨三中2022年第一次模拟考试数学试卷（理工类）第I卷（选择题,共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.集合，，则A．B．C．D．2.等差数列的前项和为，且=，=，则公差等于A．B．C．D．3.在中，，，，则的面积为，A．B．C．D．4.下列函数在上为减函数的是A．B．C．D．5.方程的解所在的区间为A．B．C．D．6.将函数的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于轴对称，则的一个可能取值为A．B．C．D．7.给出下列关于互不相同的直线、、和平面、的四个命题：①若，，点，则与不共面；②若、是异面直线，，，且，，则；-12-③若，，，则；④若，，，，，则，其中为真命题的是A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③8.变量、满足条件，则的最小值为A．B．C．D．9.如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，点在射线上，则的最小值为A．B．C．D．10.如图，四棱锥中，，，和都是等边三角形，则异面直线与所成角的大小为A．B．C．D．11.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=A．B．C．D．12.设函数在上存在导数，，有，在上-12-，若，则实数的取值范围为A．B．C．D．哈尔滨三中2022年第一次模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）侧视图正视图13.正项等比数列中，，，则数列的前项和等于 ．14.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为．俯视图15.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则．16．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，例如是上的平均值函数，就是它的均值点．现有函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）设是锐角三角形，三个内角，，所对的边分别记为，，，并且-12-.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求，（其中）．18.（本小题满分12分）已知数列满足，，令.（Ⅰ）证明：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的通项公式．19.（本小题满分12分）为等腰直角三角形，，，、分别是边和的中点，现将沿折起，使面面，、分别是边和的中点，平面与、分别交于、两点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求的长．-12-20.（本小题满分12分）如图，抛物线：与椭圆：在第一象限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点作直线交于、两点，射线、分别交于、两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分）设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）若当时，恒成立，求实数的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形是⊙的内接四边形，延长和相交于点，，.（Ⅰ）求的值；-12-（Ⅱ）若为⊙的直径，且，求的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程.（Ⅰ）判断直线与曲线的位置关系；（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若存在实数，使得，求实数的取值范围．-12-哈尔滨三中2022年第一次模拟考试数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：题号123456789101112答案ACCDBBCDBABB二、填空题：13.14.15.16.三、解答题：17.解：(Ⅰ)，，．…………………………6分(Ⅱ)，，又，，，，．…………………………12分18.解：(Ⅰ)，，即，是等差数列．………6分(Ⅱ)，，…………………………10分，．…………………………12分19.(Ⅰ)因为、分别是边和的中点，所以，因为平面，平面，-12-所以平面因为平面，平面，平面平面所以又因为，所以.……………………………………4分(Ⅱ)如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，，，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，，令，解得，，则设平面的一个法向量为，则，，令，解得，则，所以二面角的余弦值为……………………………8分（Ⅲ）法（一），设则，解得，-12-…………………12分法（二）取中点，连接交于点，连接，与相似，得，易证，所以……………12分20.解:(Ⅰ)因为的面积为,所以，……………2分代入椭圆方程得，抛物线的方程是：……………4分(Ⅱ)存在直线:符合条件解：显然直线不垂直于轴，故直线的方程可设为，与联立得.设,则.……………6分由直线OC的斜率为,故直线的方程为，与联立得，同理，所以………8分可得-12-要使，只需………10分即解得，所以存在直线:符合条件…………………………12分21.解：(Ⅰ)，，，．………………………………4分(Ⅱ)，设，，，在上单调递增，，在上单调递增，．．………………………………8分（Ⅲ）设，，(Ⅱ)中知，，，①当即时，，在单调递增，，成立．②当即时，，，令，得，当时，，在上单调递减，不成立．-12-综上，．………………………………12分22.(Ⅰ)由，，得与相似，设则有，所以………………………………5分(Ⅱ)，………………………………10分23.解：(Ⅰ)直线的普通方程为曲线的直角坐标系下的方程为圆心到直线的距离为所以直线与曲线的位置关系为相离.……………5分(Ⅱ)设，则.……………10分24.(Ⅰ)①当时，，所以②当时，，所以为-12-③当时，，所以综合①②③不等式的解集为……………5分(Ⅱ)即由绝对值的几何意义，只需…………………10分-12-
