高二（下）期末质量检查数学（文科）试卷命题人：厦门六中徐福生审定：厦门教育学院数学科本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分为150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）1、在正方体ABCD-ABCD中，与对角线AC异面的棱有（）A.12条B.6条C.4条D.2条2、(1+x)(nN)的展开式中二项式系数最大的项是（）A.第n项B.第n+1项C.第n+2项D.第n+1或n+2项3、“直线m、n与平面所成的角相等”是“m∥n”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、集合M={a,a,a,a,a}的真子集个数是（）A.5B.30C.31D.325、已知直线m、n和平面、，则⊥的一个充分条件是（）A.m⊥n，m∥，n∥；B.m⊥n，=m，n；C.m∥n，n⊥，m；D.m∥n，m⊥，n⊥.6、在北纬60°圈上有甲、乙两地，它们在纬度圈上的弧长等于(R是地球的半径)，则这两地的球面距离为（）A.RB.RC.RD.R7、AC是平面内的一条直线，P为外一点，PA=2,P到的距离是1，记AC与PA所成的角为，则必有（）A.B.cos≤C.sin≥D.tan≥13/138、有5条线段其长度分别为3、5、6、9、10，任取其中的三条线段头尾相连组成三角形，则最多可组成三角形的个数是（）A．4B．8C．10D．69、某人对同一目标进行射击，每次射击的命中率都是0.25，若要使至少命中一次的概率为0.75，则此人应射击（）A.4次B.5次C.6次D.8次10、正方体的全面积是a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是（）A.B.C.2D.311、由1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{a}，其中a等于（）A.3412B.3421C.4123D.413212、在空间，平移正△ABC至△ABC，使AA⊥面ABC，AB=3，AA=4，则异面直线AB与BC所成的角的余弦值为（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：(每小题4分，共16分)13、若A、B为两相互独立事件，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，则P(A+B)=_________；14、若(3x-1)=ax+ax+……+ax+a，则a+a+……+a=_________；15、若一个简单多面体的面都是三角形，顶点数V=6，则它的面数F=______；16、已知二面角—l—为60，点A，点A到平面的距离为，那么点A在面上的射影A到平面的距离为_________。13/13三.解答题：（本大题共74分）17、（本小题满分12分）某小组有男、女学生共13人，现从中选2人去完成一项任务。设每人当选的可能性相同。⑴若选出的两人性别相同的概率为，求选出的两人性别不同的概率；⑵若已知该班男生有9人，求选出的两人性别不同的概率。13/1318、（本小题满分12分）四面体ABCD中，对棱AD⊥BC，对棱AB⊥CD，试证明：AC⊥BD.13/1319、（本小题满分12分）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲能破译出密码的概率是1/3，乙能破译出密码的概率是1/4，试求：①甲、乙两人都译不出密码的概率；②甲、乙两人中恰有一人能译出密码的概率；③甲、乙两人中至多有一人能译出密码的概率.13/1320、（本小题满分12分）设a1=1，a2=1+2，a=1+2+2，……，a=1+2+2+…+2(nN)，记f(n)=Ca+Ca+…+Ca(1)求f(n)的表达式；(2)设b+b+…+b=，求证：{b}为等比数列.13/1321、（本小题满分12分）直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB=90°，D为AB的中点，AO=BO=BB1=2.O1B1A1OBAD①求证：BO1⊥AB1；②求证：BO1∥平面OA1D；③求三棱锥B—A1OD的体积。高二数学（下）期末质量检查（文科）答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）1、B2、D3、A4、C5、C6、C7、D8、D9、B10、A11、C12、A第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：(每小题4分，共16分)13、0.714、12915、816、三.解答题：（本大题共74分）17、（本小题满分12分）解：记事件A为从男、女学生13人中任选出两人的性别相同，13/13⑴P（A）=，则事件为从男、女学生13人中任选出两人的性别不同，…………3分则P（）=1-P（A）=1-=。……………………………………6分⑵该班男生有9人，则女生有4人，则P（A）=………………………………………………………9分=，…………………………………………………………11分故该班男生有9人，女生有4人时从中选出的两人性别不同的概率是。…12分18、（本小题满分12分）证法1：作AO⊥平面BCD于O，则BO、CO、DO分别为AB、AC、AD在平面BCD内的射影.…………………………………………………………3分∵CD⊥AB,CD平面BCD∴CD⊥BO（三垂线定理的逆定理）………………6分同理BC⊥DO∴O为△BCD的垂心………………………………9分从而BD⊥CO∴BD⊥AC（三垂线定理），即AC⊥BD……………12分证法2：作出向量、、、、、.∵⊥，⊥∴·=0，·=0…………………………………4分又=+，=+∴·=·+·++·…………8分=·+(++)=·+·=0∴⊥∴AC⊥BD……………………………………12分13/1319、（本小题满分12分）解：记甲、乙两人独立地破译出密码的事件分别是A、B，则P(A)=,P(B)=………………………………………………………………3分（1）甲、乙两人都译不出密码的概率为：P(·)=P()·P()=(1-)(1-)=…………………………6分（2）甲、乙两人中恰有一人能译出密码的概率为：P(A·+B·)=P(A·)+P(B·)=(1-)+(1-)=……9分（3）甲、乙两人中至多有一人能译出密码的概率为：1-P(A·B)=1-×=……………………………………………12分20、（本小题满分12分）解：(1)∵a=……………………………………………2分于是f(n)=()C+()C+…+()C=(2C+2C+…+2C)-(C+C+…+C)………………4分=(C+2C+2C+…+2C)-(C+C+C+…+C)=(1+2)-2=3-2……………………………………………6分(2)b+b+…+b==b+b+…+b=（nN，n³2）相减得：b=（nN，n³2）………………8分=又b1=，则b=…………………………………………10分∴=，∴{b}是等比数列.……………………………12分13/1321、（本小题满分12分）证法1：①连结OB，∵OO⊥平面AOB,∴OO⊥AOO1B1A1OBAD即AO⊥OO，又AO⊥OB∴AO⊥平面OOBB∴OB为AB在平面OOBB内的射影…………………………………………2分又OB=BB∴四边形OOBB为正方形∴BO⊥OB∴BO⊥AB（三垂线定理）……………4分②连结AO交OA于E，再连结DE.∵四边形AAOO为矩形,∴E为AO的中点.又D为AB的中点，∴BO∥D……………6分又DE平面OAD，BO平面OAD∴BO∥平面OAD………………………………8分③∵V=V，…………………………10分又∵AA1⊥平面ABO，∴V=·S·AA。又S=·S=1，A1A=2，∴V=。……………………………………12分证法2：以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则:O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A(2,0,2),13/13B(0,2,2),O(0,0,2),D(1,1,2).…………………………2分①∵=(-2,2,-2),=(0,-2,-2)∴·=(-2)·0+2·(-2)+(-2)·(-2)=0∴⊥∴BO⊥AB…………4分②取OA的中点为E，则E点的坐标是(1,0,1)，∴=(0,-1,-1),又=(0,-2,-2)∴=2又BO、DE不共线，∴BO∥DE……………………………………………6分又DE平面OAD，BO平面OAD∴BO∥平面OAD…………………………………8分③与证法1相同22、（本小题满分14分）解：(1)如图所示，利用Rt△AOC和Rt△AOD可求得OC=(公里)，OD=(公里)…………………………………………2分在△ODC中，由余弦定理，得CD=OC+OD-2·OC·ODcos120°xyOCD=()+()-2·(-)=∴DC=(公里)……………………………………4分∴v==6·DC=6=2(公里/小时)…………6分(2)如图所示，过C作CF∥OD，则∠CFE=∠DOE=30°∴CO=CF=……………………8分13/13而△OED∽△FEC∴=，即=∴OE=EF作CM⊥OF，则OM=OF于是OE=OM=MF在Rt△OMC中，OM=OC·cos30°∴OE=OF=OM=OC·cos30°=·=(公里)…………10分在△EOC中，由余弦定理，得CE=OE+OC-2·OE·OCcos150°=()+()-2··(-)=∴CE=…………………………………………………………12分∴t===(小时)因此，若船的速度不变，11点15分船可到达岛的正西方向，此时所在点E距岛1.5公里。……………………………………………………………………14分13/1322、（本小题满分14分）海岛O上有一座海拔1000米的山，山顶上有一个观察站A。上午11点该观察站测得一轮船在海岛O的北60°东C处，俯角为30°；上午11点10分又测得该船在海岛的北60°西D处，俯角60°，问：⑴这船的速度是每小时多少公里？⑵如果船的航向及船速不变，它何时到达岛的正西方向？到达正西方向时所在点E离岛多少公里？13/13
