高二理科数学下册期末考试（数学理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。3．考试结束，监考人员将答题卷和答题卡一并收回。第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。（将正确答案标号涂在答题卡上）1．空间两条直线、与直线都成异面直线，则、的位置关系是（）A．平行或相交B．异面或平行C．异面或相交D．平行或异面或相交2．已知，则等于（） A． B． C．8 D．93．设函数，则的值为（） A． B．0 C．1 D．54．某班级要从4名男生、2名女生中选4人接受心理调查，如果要求至少有1名女生，那么不同的选法种数为（）A．14B．24C．28D．485．某人练习射击，每次击中目标的概率为0．6，则他在五次射击中恰有四次击中目标的概率为（）A．B．C．D．6．已知直线⊥平面，直线平面，给出下列四个命题：①②③④其中正确的命题是（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．①②B．③④C．②④D．①③7．如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．5B．6C．7D．88．在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等边三角形的概率为（）-9-/9\nA．B．C．D．图19．设是函数的导函数，的图象如图1所示，则的图象最有可能的是（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m图210．如图2，在的二面角内，半径为1的圆与半径为2的圆分别在半平面、内，且与棱切于同一点，则以圆与圆为截面的球的表面积为（）A．B．w.w.w.k.s.5.u.c.o.mC．D．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。把答案填写在答题卷相应的横线上。11．的展开式中含项的系数为。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m12．记者要为4名奥运志愿者和他们帮助的2名外国友人拍照，要求排成一排，2名外国友人不相邻且不排在两端，则不同的排法共有种。（用数字作答）图313．设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率为。14．如图3，在长方体中，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m，，则与平面所成角的正弦值为。-9-/9\n15．设函数，有大于零的极值点，则的取值范围是。三、解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。16．（本小题满分13分）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为的中点。（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求异面直线与所成的角。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m17．（本小题满分13分）已知的展开式中，名项系数的和与其各项二项式系数的和之比为32。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项。w.w.w.k.s.5.u.c.o.mw.w.w.k.s.5.u.c.o.m-9-/9\n18．（本小题满分13分）已知函数处取得极值，并且它的图象与直线在点（1，0）处相切。（Ⅰ）求、、的值；（Ⅱ）求函数的单调区间。19．（本小题满分12分）甲、乙两人进行一种游戏，两人同时随机地喊出杠、虎、鸡、虫，按照杠打虎、虎吃鸡、鸡吃虫、虫啃杠的原则决定胜负。（比如甲喊杠的同时，乙若喊虎则乙输，乙若喊虫则乙赢，乙若喊杠或鸡则不分胜负。）若两人同时喊出一次后不分胜负则继续喊下去，直到分出胜负。（Ⅰ）喊一次甲就获胜的概率是多少？（Ⅱ）甲在喊不超过三次的情况下就获胜的概率是多少？-9-/9\n20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，⊥平面，，、分别是、的中点。（Ⅰ）证明：⊥；（Ⅱ）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。21．（本小题满分12分）已知函数，，函数在、处取得极值，其中。（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）判断在上的单调性；（Ⅲ）已知在上的最大值比最小值大，若方程有3个不同的解，求实数的取值范围。-9-/9\n名校联盟2022—2022学年第二期期末考试高2022级数学（理科）参考解答及评分意见一、选择题1－56－10二、填空题11．12．13．14．15．，三、解答题16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：连结，令，则为的中点………1分而为的中点∴∥………………………………………………3分又，∴∥平面………………………………………………………………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：∥∴（或其补角）为异面直线与所成的角…………………………………………………8分又正三棱柱的所有棱长都为2，为的中点∴，，，…………………………9分在中，…………………………………11分∴异面直线与所成的角为。……………………………………………………………13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）令，则展开式的各项系数和为………………………………3分又展开式的各项二项式系数和为……………………………………………5-9-/9\n分∴即………………………………………………………………6分于是……………………………………………………………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：∴展开式的中间两项二项式系数最大………9分即……………………………………………11分。………………………………………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵∴………………1分又函数处取得极值∴①………………3分又函数的图象与直线在点（1，0）处相切∴②………………………………………………………4分③………………………………………………………………6分由①②③解得：，，。……………………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，……8分当时，，函数的单调递减区间为；…………………10分当或时，，函数的单调递增区间为，。…13分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，甲喊一次就获胜的概率为。…………………5分（Ⅱ）喊一次：甲胜的概率为…………………………………………6分甲乙不分胜负的概率为…………………………8分-9-/9\n甲负的概率为……………………………………………9分∴甲在喊不超过三次的情况下就获胜的概率为。………12分20．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形。因为为的中点，所以。…………1分又∥，因此。…………………………………………………2分因为平面，平面，所以。………3分而，所以平面。………………………………4分又平面，所以。……………………………………5分（Ⅱ）解：设，为上任意一点，连接、由（Ⅰ）可知：平面，则为与平面所成的角。……………………………………………6分在中，，所以当最短时，最大，………………………………………………7分即当时，最大，此时。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m因此。又，所以，于是。……………………8分因为⊥平面，平面，所以平面平面。…………………………………………9分过作于，则由面面垂直的性质定理可知：平面，过作于，连接，则由三垂线定理可知：为二面角的平面角。……………………10分在中，，又是的中点，在中，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m又………………………………11分在中，-9-/9\n即二面角的余弦值为。………………………………12分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵有两个不等正根，即方程有两个不等正根、…………………………………1分∴且，………………………………2分解得：…………………………………………………………3分（Ⅱ）……………………………4分令，则的对称轴为∴在上的最小值为………………………5分∴……………………………………………………………6分于是在上单调递增。………………………………7分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：在上单调递增∴………………………8分即w.w.w.k.s.5.u.c.o.m又，解得：……………………………………………………9分∴，∴，∴在上递增，在上递减且当时，∴，………………10分又当时，；当时，…………………11分∴当时，方程有3个不同的解∴实数的取值范围为。…………………………12分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m[说明]解答题若另有解法，请酌情给分。-9-/9
