长安一中2022-2022学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集是实数集,集合,,则图中阴影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．2.下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（）①在复平面内，复数对应的点位于第二象限②复数的虚部是-2③复数是纯虚数④A.①②B.①③C.②④D.③④3．设,则（）A．B．C．D．4．已知向量a＝(1，－)，b＝(1，2)且a⊥b，则等于( )A．－1B．0C.D.5.在中，角A、Ｂ、Ｃ所对的边分别是、、，若，，则等于（）A． B． Ｃ． Ｄ．6．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A.18B.24C.30D.36-11-\n7.若下框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是()A.B.C.D.正视图侧视图俯视图53438.若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的体积等于( )A.B.C.D.9.下列说法中，正确的是（）A．命题“若，则”的逆命题是真命题B．命题“存在”的否定是：“任意”C．命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题D．“”是“函数是偶函数”的充分不必要条件10．右图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(，)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y＝sinx(x∈R)的图像上所有的点( ).向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变..向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变..向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变..向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.11.已知定义在上的函数对任意都满足，且当时，，则函数的零点个数为()A．2B．3C.4D．5-11-\n12.定义在上的函数满足：则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为，则函数的定义域是__ ______14.已知，则的展开式中的常数项为.15.函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中则得最小值为.16．已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（本小题共12分）设数列9，（1）求证：是等比数列；(2)若数列满足,求数列的前项和；18.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求锐二面角的余弦值.19.某高校在2022年的自主招生考试成绩中随机抽取名学生的笔试成绩（被抽取学生的成绩均不低于分,且不高于分），按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.-11-\n（1）请先求出、、、的值，再在答题纸上补全频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，第4组中有ξ名学生被考官A面试，求ξ的分布列和数学期望.组号分组频数频率第1组50.050第2组第3组30第4组200.200第5组100.10020.（本小题共12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.21.（本小题共12分）已知函数（Ⅰ）求在点处的切线方程；（Ⅱ）若存在，满足成立，求的取值范围；（Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围.选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4—4：极坐标系与参数方程．-11-\n在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．曲线C2:，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点P的极坐标为()．(I)求曲线C2的极坐标方程；(Ⅱ)若C1与C2相交于M、N两点，求的值.23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知．(I)当m=0时，求不等式的解集；(Ⅱ)对于任意实数，不等式成立，求m的取值范围．-11-\n2022-2022学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.CCABBCDBBABA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.15.216.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（本小题共12分）解：（1）依题意，，故，当①又②②－①整理得：，故是等比数列，（2）由（1）知，且，，18.（本小题满分12分）（Ⅰ）连结，∵是等腰直角三角形斜边的中点，∴.又三棱柱为直三棱柱，∴面面，-11-\n∴面，.设，则.∴，∴.又，∴平面.（Ⅱ）以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系如图，设，则，，.由（Ⅰ）知，平面，∴可取平面的法向量.设平面的法向量为，由∴可取.设锐二面角的大小为，则.∴所求锐二面角的余弦值为.19.（本小题共12分）【解】：-11-\n（1）由第1组的数据可得，第2组的频率=，第2组的频数为=人,第3组的频率为=,频率分布直方图如右:（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:人,…6分第4组:人,…7分第5组:人,…8分所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.（3）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2该变量符合超几何分布，∴ξ012P∴分布列是∴20.（本小题共12分）解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，准线方程为，∴①又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，∴得上交点为，∴②由①代入②得，解得或（舍去），从而∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为（Ⅱ）∵倾斜角为的直线过点，∴直线的方程为，即，-11-\n由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得，解得，即，又满足，故点在抛物线上.所以抛物线上存在一点，使得与关于直线对称.21.（本小题共12分）解：(Ⅰ)在处的切线方程为：即(Ⅱ)即令时，，时，在上减，在上增又时，的最大值在区间端点处取到.在上最大值为，故的取值范围是：<.（Ⅲ）由已知得时恒成立，设由(Ⅱ)知，当且仅当时等号成立，-11-\n故从而当即时，，为增函数，又于是当时，即时符合题意。由可得，从而当时，故当时，，为减函数，又，于是当时，即故，不符合题意.综上可得的取值范围为-11-\n-11-
