长安一中2022～2022学年度第二学期期末考试高一数学试题时间：100分钟总分：150分一、选择题（本题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.己知且，则下列不等关系正确的是（ ）A． B． C．＞1 D．2.已知，则取最大值时的值为（）A． B． C． D．3.在中，角所对的边分别为，，，若=1，， ，则角等于（ ）A．60°或120° B．30°或150° C．60° D．120°4.直线过点且与直线垂直，则的方程是（）A． B．C．D．5.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．192里B．96里C．48里D．24里6.圆的圆心到直线的距离为，则=（）A．B．C．D．27.已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A．B．C．D．8.设是两条不同的直线，是两个不同的平面。（）-6-\nA．若则B．若则C．若则D．若则9.若不等式组满足所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是( )A．B．C．D．10.如图，要测量底部不能到达的某铁塔的高度，在塔的同一侧选择两观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为．在水平面上测得，两地相距600m，则铁塔的高度是（ ）A． B． C． D．11．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）为（）A．B．C．D．12.等差数列的前项和为，已知，,则（）A．38B．20C．10D．913.已知正方体的棱长为，点分别是棱的中点，点在底面内，点在线段上，若，则长度的最小值为（）A．B．C．D．14.设数列满足，且.若表示不超过的最大整数，则（）-6-\nA．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分.把答案填写在答题卡相应的位置.）15.△ABC中，，则该三角形的形状为___________．16.若直线过点，则的最小值为___________．17.若变量满足则的最大值为( )18.过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是___________．19.如右图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为__________．20.在四棱锥中,，底面为正方形,.记四棱锥的外接球与三棱锥的外接球的表面积分别为,则=__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共4小题，共50分）21.（本小题满分12分）已知为的三个内角，且其对边分别为，若．（1）求角的值；（2）若，，求的面积．22.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB＝2AD＝4.(1)求证：平面PCD⊥平面PAD；(2)求三棱锥P—ABC的体积；(3)在棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD？若存在，请确定点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．23．（本小题满分13分）已知函数．-6-\n（1）若关于的不等式的解集是，求的值；（2）设关于的不等式的解集是，集合，若，求实数的取值范围．24．（本小题满分13分）已知等比数列的公比，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设,是数列的前项和，对任意正整数不等式恒成立，求实数的取值范围．长安一中2022～2022学年度第二学期期末考试高一数学试题答案一、选择题：DBAABABCADACCC二、填空题：15.等腰或直角三角形16.817.218.19.820.三、解答题21.解：（1）∵acosC+ccosA=-2bcosA，由正弦定理可得：sinAcosC+sinCcosA=-2sinBcosA，化为：sin（A+C）=sinB=2sinBcosA，sinB≠0，可得cosA=，A∈（0，），∴A=；（2）由，b+c=4，结合余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，∴12=（b+c）2-2bc-2bccos，即有12=16-bc，化为bc=4．故△ABC的面积为S=bcsinA=×4×sin=．22.(1)证明 因为AB∥CD，AB⊥AD，所以CD⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，-6-\n平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面PAD.因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.(2)解 取AD的中点O，连接PO.因为△PAD为正三角形，所以PO⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO为三棱锥P—ABC的高．因为△PAD为正三角形，CD＝2AB＝2AD＝4，所以PO＝.所以V三棱锥P—ABC＝S△ABC·PO＝××2×2×＝.(3)解 在棱PC上存在点E，当E为PC的中点时，BE∥平面PAD.分别取CP，CD的中点E，F，连接BE，BF，EF，所以EF∥PD.因为AB∥CD，CD＝2AB，所以AB∥FD，AB＝FD，所以四边形ABFD为平行四边形，所以BF∥AD.因为BF∩EF＝F，AD∩PD＝D，所以平面BEF∥平面PAD.因为BE⊂平面BEF，所以BE∥平面PAD.23．解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|m＜x＜2}，∴对应方程x2-（m+1）x+1=0的两个实数根为m、2，由根与系数的关系，得，解得a=，m=；（2）∵关于x的不等式f（x）≤0的解集是A，-6-\n集合B={x|0≤x≤1}，当A∩B=时，即不等式f（x）＞0对x∈B恒成立；即x∈时，x2-（a+1）x+1＞0恒成立，∴a+1＜x+对于x∈（0，1]恒成立（当时，1>0恒成立）；∵当x∈（0，1]时，∴a+1＜2，即a＜1，∴实数a的取值范围是．24．解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，a1+a3=20，a2=8．则，∴2q2﹣5q+2=0，∵公比q＞1，∴，∴数列{an}的通项公式为．（Ⅱ）解：∴∴，∴∴对任意正整数n恒成立，设，易知f（n）单调递增．n为奇数时，f（n）的最小值为，∴得，n为偶数时，f（n）的最小值为，∴，综上：，即实数a的取值范围是．-6-
