陕西省西安市2022届高三数学第三次模拟考试试题理第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)1.若集合,,则【】.A.B.C.D.2.若复数满足:,则复数的共轭复数【】.A.B.C.D.3.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为【】.A.B.C.D.4.若的三个内角满足,则【】.A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形5.函数是【】.A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的偶函数i>5?否开始S=0,i=1T=3i－1S=S+Ti=i+1是输出S结束6.按右面的程序框图运行后,输出的应为【】.A.B.C.D.7.若数列满足,且,则使的值为【】.A.B.C.D.8.“”是“直线:与:平行”的【】.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设,分别为双曲线的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为【】.A.B.C.D.10.一个赛跑机器人有如下特性：(1)步长可以人为地设置成米,米,米,…,米或米；(2)发令后,机器人第一步立刻迈出设置的步长,且每一步的行走过程都在瞬时完成；(3)当设置的步长为米时,机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔秒．则这个机器人跑米(允许超出米)所需的最少时间是【】.A.秒B.秒C.秒D.秒第Ⅱ卷（共100分）二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.在的展开式中,常数项为.12.若向量,,则的最大值为.13.若实数满足,且,则的取值范围是________.14.若曲线在点处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为,则________.15.请考生从以下三个小题中任选一个作答,若多选,则按所选的第一题计分.A.(不等式选讲)若实数满足,则的最大值为_________.B.(几何证明选讲)以的直角边为直径的圆交边于点,点在上,且与圆相切.若,则_________.C.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线与直线的两个交点之间的距离为_________.三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.(本题12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.①；②；③；④；⑤.(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数；(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.17.(本题12分)如图,在长方体中,点在棱上.(1)求异面直线与所成的角；(2)若二面角的大小为,求点到面的距离.18.(本题12分)某校设计了一个实验考查方案:考生从道备选题中一次性随机抽取道题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中道题的便可通过.已知道备选题中考生甲有道题能正确完成,道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.(1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望；(2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力.19.(本题12分)在数列中,,且对任意的都有.(1)求证:是等比数列；(2)若对任意的都有,求实数的取值范围.20.(本题13分)已知椭圆:的离心率为,过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点,为弦的中点,为坐标原点.(1)求直线的斜率；(2)求证:对于椭圆上的任意一点,都存在,使得成立.21.(本题14分)设函数有两个极值点,且.(1)求实数的取值范围；(2)讨论函数的单调性；(3)若对任意的,都有成立,求实数的取值范围.高2022届第三次五校联考数学(理)参考答案一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)题号12345678910答案ABDCCCDABA二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.12.13.14.15.A.B.C.三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.(本题12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.①；②；③；④；⑤.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出常数；(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.解:(1)选择②式计算:.…4分(2)猜想的三角恒等式为:.………6分证明:.………………………………12分17.(本题12分)如图,在长方体中,点在棱上.(1)求异面直线与所成的角；(2)若二面角的大小为,求点到平面的距离.解法一:(1)连结.由是正方形知.∵平面,∴是在平面内的射影.根据三垂线定理得,则异面直线与所成的角为.…………5分(2)作,垂足为,连结,则.所以为二面角的平面角,.于是,易得,所以,又,所以.设点到平面的距离为,则由于即,因此有,即,∴.…………12分解法二:如图,分别以为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.(1)由,得,设,又,则.∵∴,则异面直线与所成的角为.……………………5分(2)为面的法向量,设为面的法向量,则,∴.①由,得,则,即,∴②由①、②,可取,又,所以点到平面的距离.……………12分18.(本题12分)某校设计了一个实验考查方案:考生从道备选题中一次性随机抽取道题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中道题的便可通过.已知道备选题中考生甲有道题能正确完成,道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.(1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望；(2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力.解:(1)设甲、乙正确完成实验操作的题数分别为,,则取值分别为；取值分别为.,,.∴考生甲正确完成题数的概率分布列为123.…………………………3分∵,同理:,,.∴考生乙正确完成题数的概率分布列为:0123.………………7分(2)∵,.（或）.∴.∵,,∴.……………10分从做对题数的数学期望考察,两人水平相当；从做对题数的方差考察,甲较稳定；从至少完成道题的概率考察,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强.……………………12分说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分.19.(本题12分)在数列中,,且对任意的都有.(1)求证:是等比数列；(2)若对任意的都有,求实数的取值范围.证:(1)由,得.又由,得.因此,是以为首项,以为公比的等比数列.………5分解:(2)由(1)可得,即,,于是所求的问题:“对任意的都有成立”可以等价于问题:“对任意的都有成立”.若记,则显然是单调递减的,故.所以,实数的取值范围为.………………………12分20.(本题13分)已知椭圆:的离心率为,过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点,为弦的中点.(1)求直线(为坐标原点)的斜率；(2)求证:对于椭圆上的任意一点,都存在,使得成立.解:(1)设椭圆的焦距为,因为,所以有,故有.从而椭圆的方程可化为:①易知右焦点的坐标为(),据题意有所在的直线方程为:.②由①,②有:.③设,弦的中点,由③及韦达定理有:所以,即为所求.………5分(2)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立.设,由(1)中各点的坐标有:,故.……7分又因为点在椭圆上,所以有整理可得:.④由③有:.所以⑤又点在椭圆上,故有.⑥将⑤,⑥代入④可得:.………11分所以,对于椭圆上的每一个点,总存在一对实数,使等式成立,且.所以存在,使得.也就是:对于椭圆上任意一点,总存在,使得等式成立.………13分21.(本题14分)设函数有两个极值点,且.(1)求实数的取值范围；(2)讨论函数的单调性；(3)若对任意的,都有成立,求实数的取值范围.解:(1)由可得.令,则其对称轴为,故由题意可知是方程的两个均大于的不相等的实数根,其充要条件为,解得.……………………5分(2)由(1)可知,其中,故①当时,,即在区间上单调递增；②当时,,即在区间上单调递减；③当时,,即在区间上单调递增.………9分(3)由(2)可知在区间上的最小值为.又由于,因此.又由可得,从而.设,其中,则.由知:,,故,故在上单调递增.所以,.所以,实数的取值范围为.……………………………14分(事实上,当时,,此时.即,“”是其充要条件.)
