第五次月考数学理试题【陕西版】本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知是虚数单位，和都是实数，且,则=（）A.B.C.D.2.右图所示的算法运行后，输出的的值等于（）A．9B．8C．7D．63.过点且倾斜角为的直线与圆的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.以上均有可能4.数列满足，若，则=（）A．B．C．D．5.下列命题中①“数列既是等差数列，又是等比数列”的充要条件是“数列是常数列”；②若命题“且”为假命题，则均为假命题；③对命题:存在使得，则对于任意的均有；④若两个非零向量共线，则存在两个非零实数，使.正确命题的个数是（）A．2B．3C．4D．56.直线是常数），当此直线在轴的截距和最小时，正数的值是（）A.0B.2C.D.17.如图，矩形内的阴影部分是由曲线及直线8与轴围成，向矩形内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是()A.B.C.D.8.为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A.，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B.，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C.，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D.，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛9.设函数，若，，则函数的零点个数为（）A.1B.2C.3D.410.已知数列满足：，定义：使为整数的数叫做“希望数”，则区间内所有希望数的和等于（）A．2026B．2036C．2046D．2048第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共25分）11．的二项展开式中x的系数是；（用数字作答）12．双曲线（a>0,b>0）的两个焦点为，若P为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围是；13．观察下列式子：,…,根据以上式子可猜想:;814.右图中的三个直角三角形是一个体积为的几何体的三视图，则=cmABCDE15.（请从下列三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.）A．(几何证明选做题）如图，是的高，是外接圆的直径，则的长为；B．（不等式选做题）如果关于的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是；C．（坐标系与参数方程选做题）已知圆C的圆心为，半径为5，直线被圆截得的弦长为8，则=；三、解答题：本大题共6小题，16～19每小题12分，20题13分，21题14分，满分75分.16.(本小题满分12分)(Ⅰ)若,用向量法证明；(Ⅱ)若向量与互相垂直，且其中求17.(本小题满分12分)数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设,数列的前项和为,求证:.18.(本小题满分12分)在四棱锥中，侧面底面，8Q，为中点，底面是直角梯形。(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)设为侧棱上一点，，试确定的值，使得平面QBD与平面PBD的夹角为。19.(本小题满分12分)某同学参加某高校自主招生3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，()，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及,的值；(Ⅱ)求数学期望.20.(本小题满分13分)已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)若过F的直线交椭圆于A，B两点，且与向量共线（其中O为坐标原点），求与的夹角；21.(本小题满分14分)已知函数，，.(Ⅰ)若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；(Ⅱ)设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；(Ⅲ)对（Ⅱ）中的和任意的时，证明：8故17．（本小题满分12分）解：（1）由已知：对于，总有①成立∴（n≥2）②①-②得,∴∵均为正数，∴（n≥2）∴数列是公差为1的等差数列.又n=1时，，解得=1,∴.()(2)解法一：由（1）可知,解法二：由（1）可知,,.818．（本小题满分12分）Q解：（1）平面平面，，∴平面，∴在直角梯形ABCD中，∴即.又由平面，可得，又，∴平面.（3）如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则，平面的法向量为，，设平面的法向量为，，由，∴∴，注意。19.（本题满分12分）解：用表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1，2，3。由题意得(Ⅰ)该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为由及得(Ⅱ)ξ0123∴ 8∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为 ．21.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）=,=(x>0),由已知得解得a=，x=e2,∴两条曲线交点的坐标为（e2,e）切线的斜率为∴切线的方程为（Ⅱ）由条件知∴8（1）8
