1.3直角三角形全等的判定第1章直角三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结,情境引入学习目标1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．（难点）2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．（重点）,SSSSASASAAAS旧知回顾:我们学过的判定三角形全等的方法导入新课,如图，Rt△ABC中，∠C=90°，直角边是_____、_____，斜边是______.CBAACBCAB思考：前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？,ABCA′B′C′1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？口答：,动脑想一想我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理.ABCDEF,如果这两个三角形都是直角三角形，即∠C=∠C'=90°，且AB=A'B',AC=A'C'，现在能判定△ABC≌△A'B'C'吗？BCAA'B'C'动脑想一想我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理.,任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°,B′C′=BC,A′B′=AB,把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ABC作图探究直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）讲授新课画图方法视频,画图思路（1）先画∠MC′N=90°ABCMC′N,画图思路（2）在射线C′M上截取B′C′=BCMC′ABCNB′MC′,画图思路（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′MC′ABCNB′A′,画图思路（4）连接A′B′MC′ABCNB′A′思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？,BCAA'B'C'在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中∵AB=A'B',AC=A'C'，根据勾股定理，BC2=AB2－AC2，B'C'2=A'B'2－A'C'2，∴BC=B'C'.∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.证明猜想,知识要点“斜边、直角边”定理文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.几何语言：ABCA′B′C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.AB=A′B′,BC=B′C′,,判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：(1)一个锐角和这个角的对边对应相等；（）(2)一个锐角和这个角的邻边对应相等；（）(3)一个锐角和斜边对应相等；（）(4)两直角边对应相等；（）(5)一条直角边和斜边对应等．（）HLAAS或ASASASAASAAS判一判,典例精析例1如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，求证：BC﹦AD.证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角.AB=BA,AC=BD.在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC﹦AD.ABDC应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.这是应用“HL”判定方法的书写格式.利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.,变式1：如图，∠ACB=∠ADB=90，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）ABDCAD=BC∠DAB=∠CBABD=AC∠DBA=∠CABHLHLAASAAS,如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.变式2HLAC=BDRt△ABD≌Rt△BAC,如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC的位置关系.变式3HL∠ADB=∠CBDRt△ABD≌Rt△CDBAD∥BC,例2如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.,方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，“HL”定理是直角三角形全等独有的判定方法．所以直角三角形全等的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．,例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF.∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等).∵∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°.,1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等C.斜边和一条直角边对应相等D.两个锐角对应相等DA当堂练习2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长为（）A．1B．2C．3D．4,4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.ABCED证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠BDC=90°.在Rt△EBC和Rt△DCB中，CE=BD,BC=CB.∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL).3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC（填“全等”或“不全等”），根据是（用简写法）.全等HL,AFCEDB5.如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.证明:∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90°.∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD,AF=CE.∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.,如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BD平分EF.AFCEDBG变式训练1AB=CD,AF=CE.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).BF=DERt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG∠BGF=∠DGEFG=EGBD平分EF,如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF吗?变式训练2CAB=CD,AF=CE.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).BF=DERt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG∠BGF=∠DGEFG=EGBD平分EF,6.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？【分析】本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．解：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；能力拓展,(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在Rt△ABC与Rt△PQA中，∵PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．,课堂小结“斜边、直角边”内容斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.前提条件在直角三角形中
