辽宁省实验中学分校2022—2022学年度高二上学期期中考试数学（理科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设命题，则为（）2．椭圆的焦距是（）A．2B．C．D．3.在等比数列中,若,则的值为（）A.B.C.D.4.设和为双曲线()的两个焦点,若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为()A．B．C．D．5.在正项等比数列中成等差数列，则等于（）A．B．C．D．6.已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则＝()A．B．C．D．7.下列命题错误的个数（）①“在三角形中，若,则”的逆命题是真命题；②命题或，命题则是的必要不充分条件；③命题若，则都是的否命题是若，则都不是。A．0B．1C．2D．38.设、分别为双曲线的左、右焦点。若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）7\nA．B．C．D．9.在数列中，，，则（）A.B.C.D.10．若等差数列的前项和为满足，则中最大的项（）A.B.C．D．11.已知函数，，则（）A.B．C．D．12.椭圆＞＞与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.椭圆的离心率满足≤≤，则椭圆长轴的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知命题，，命题，若命题“”是真命题，则实数的范围为________。14.等差数列的前项和分别为，且，则________。15.将数列按如图所示的规律排成一个三角形表，并同时满足以下两个条件：……①各行的第一个数构成公差为的等差数列；②从第二行起，每行各数按从左到右的顺序构成公比为的等比数列．7\n若，则第行的和________。16．设分别是椭圆＞＞的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是________。三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）17．(本小题满分10分)设命题：实数满足，其中；命题：实数满足,若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.18．(本小题满分12分)（1）求与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程．（2）已知双曲线()的两条渐近线均和圆相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,求该双曲线的方程。19．(本小题满分12分)定义：称为个正数的“均倒数”．已知数列的前项的“均倒数”为，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．7\n20．(本小题满分12分)已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．21．(本小题满分12分)已知数列满足，．（1）求证：数列是等差数列；（2）设，数列的前项之和为，求证：。22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于。（Ⅰ）求动点的轨迹方程；7\n（Ⅱ）设直线和与直线分别交于两点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。辽宁省实验中学分校2022—2022学年度上学期期中考试数学学科（理科）参考答案一、选择题BABBDCBCADDD二、填空题13、14、15、16、三、解答题17、答案：18、解:（1）设所求双曲线方程为：∵双曲线过点，∴∴或（舍）∴所求双曲线方程为（2）19、答案：（1）；（2） 20、解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0． 依题意 解得 ∴ 椭圆方程为 ． 7\n（2）假若存在这样的k值，由得． ∴ ． ① 设，、，，则 ② 而． 要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即． ∴ ． ③ 将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立． 综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E．21、答案：（1）略；（2）故不等式成立22、解：(Ⅰ)∵点与关于原点对称，∴点，设，∵直线与的斜率之积等于，∴，化简得，∴动点的轨迹方程为.7\n(Ⅱ)法一：设存在点，使得与的面积相等，∴，∵，∴， 即， ∴，解得，∵， ∴， ∴满足条件的点P为.法二：设，∴，解得，∴，∵，，又点到直线的距离，∴，∴， ∴，解得，∵， ∴， ∴满足条件的点P为.7
