2022-2022学年度上学期省六校协作体高三期初考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（）A.B.C.D.2．若复数满足（为虚数单位），则A.B.C.D.3．已知，则=（)A.B.C.D.4．已知平面向量的夹角为，且，则()A.1B.C.2D.5．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的a值为5，则输出的值为（）A.19B.35C.67D.1986．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为10A.1B.2C.3D.47．已知，则的大小关系为A.B.C.b>c>aD.c>a>b8．若实数满足不等式组，则目标函数的最大值是（）A.B.C.D.9．将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数图象，在图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为A.B.C.D.10．已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于（为自然对数的底数）（）A.B.C.D.11．已知双曲线，过其右焦点且平行于一条渐近线的直线与另一条渐近线交于点，与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（）10A.B.C.D.212．已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围是()A.B.C.D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，满分20分。13．在中，面积，则角的大小为_________．14．直线与曲线交于两点，且这两点关于直线对称，则__________．15．已知球面上有四个点，，，，球心为点，在上，若三棱锥的体积的最大值为，则该球的表面积为__________．16．等差数列的前项和为，，，则____________．三、解答题：满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。17．已知函数，.（1）求的单调递增区间；（2）△ABC为锐角三角形，角A所对边，角B所对边，若，求△ABC的面积.18．随着经济的发展，人民的收入水平逐步提高，为了解北京市居民的收入水平，某报社随机调查了名居民的月收入，得到如下的频率分布直方图：10（1）求的值及这名居民的平均月收入（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）①通过大数据分析，北京人的月收入服从正态分布，其中，，求北京人收入落在的概率；②将频率视为概率，若北京某公司一部门有3人，记这3人中月收入落在的人数为，求的数学期望.附：若，则19．如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．20．已知函数，其中(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调区间与极值.1021．在平面直角坐标系中，椭圆：（）的短轴长为，离心率．（1）求椭圆的方程；（2）已知为椭圆的上顶点，点为轴正半轴上一点，过点作的垂线与椭圆交于另一点，若，求点的坐标．选考题：共10分。请同学们在第22和23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．选修4—4；坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为(Ⅰ)写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；(Ⅱ)设点.若直线与曲线相交于不同的两点，求的值23．选修4—5；不等式选讲设函数的最小值为.(1)求不等式的解集；(2)已知，证明:参考答案101．D2．D3．B4．A5．C6．C7．D8．B9．A10．C11．B12．A13．14．215．16．17．（1）;（2）（1）函数由，解得时，，可得的增区间为……6分（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边，角B所对边b=5，若，即有解得，即由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，……10分若c=2，则即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为……12分18．(1);.(2)①，②.详解：（1）由已知得：，解之得：，；……4分（2）①因为，所以所以.……8分②由频率分布直方图可知由频率分布直方图可知所以，所以.……12分1019．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.详解：方法一：（Ⅰ）由得，所以.故.由，得，由得，由，得，所以，故.因此平面.方法二：（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由得.由得.所以平面.……6分（Ⅱ）设直线与平面所成的角为.由（Ⅰ）可知设平面的法向量.由即可取.所以.直线与平面所成的角的正弦值是.……12分1020．（1）；（2）见解析（1）当时，此时.所以，又因为切点为，所以切线方程，曲线在点处的切线方程为.……4分（2）由于，所以，由，得，，……6分(i)当时，则，易得在区间，内为减函数，在区间为增函数，故函数在处取得极小值，函数在处取得最大值；（ii）当时，则，易得在区间内为增函数，在区间为减函数，故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值.……12分1021．(1).(2).详解：（1）因为椭圆的短轴长为，离心率为，所以解得所以椭圆的方程为．……4分（2）因为为椭圆的上顶点，所以．设（），则.又，所以，所以直线的方程为.由消去整理得，所以，……8分所以，在直角中，由，得，所以，解得.所以点的坐标为．…12分22．(1)；.(2).详解：(Ⅰ)由直线的参数方程消去参数，得化简，得直线的普通方程为又将曲线的极坐标方程化为，∴，∴曲线的直角坐标方程为.……5分10（Ⅱ）将直线的参数方程代入中，得化简，得.此时.此方程的两根为直线与曲线的交点对应的参数，.由根与系数的关系，得，∴由直线参数的几何意义，知……10分23．（1）（2）见解析详解：(1)因为,当,即时取等号,则的最小值为,所以.由,得即,所以不等式的解集是.……5分(2)因为，则，得同理所以……10分10
