2022-2022学年贵州省铜仁市松桃民中高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（每小题5分，共70分）1．一个年级有12个班，每个班的同学从1至50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下进行交流，这里运用的是（ ）A．系统抽样B．分层抽样C．抽签抽样D．随机抽样2．下列命题中的假命题是（ ）A．∃x∈R，lgx=0B．∃x∈R，tanx=1C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R，2x＞03．“x2＞1”是“x＞1”的（ ）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（ ）A．①③B．①④C．②③D．①②5．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？6．已知命题p：“|x﹣1|＞2”，命题q：“x∈Z”．如果“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x的取值范围为（ ）A．{x|x≥3，或x≤﹣1，x∈Z}B．{x|﹣1≤x≤3，x∉Z}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{0，1，2}7．一枚硬币连掷三次至少出现一次正面的概率为（ ）16/17A．B．C．D．8．设α∈[0，π]，则方程x2sinα+y2cosα=1不能表示的曲线为（ ）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆9．在样本颇率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为（ ）A．28B．40C．56D．6010．有一个正方体棱长为1，点A为这个正方体的一个顶点，在这个正方体内随机取一个点P，则点P到点A的距离大于1的概率为（ ）A．1B．C．1D．111．若椭圆过抛物线y2=8x的焦点，且与双曲线x2﹣y2=1有相同的焦点，则该椭圆的方程为（ ）A．B．C．D．12．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的直线，交双曲线于P、Q，F1是另一焦点，若∠PF1Q=，则双曲线的离心率e等于（ ）A．B．C．D．13．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（ ）A．B．C．D．14．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△AOB的面积为（ ）A．5B．C．D． 二、填空题（每小题5分，共20分）15．某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取 名学生．16．观察程序框图如图所示．若a=5，则输出b= ．16/1717．如图是甲、乙两名篮球运动员2022年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和为 ．18．对于以下命题：①||﹣||=|+|是，共线的充要条件；②对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若=2﹣+，则P、A、B、C四点共面．③如果•＜0，那么与的夹角为钝角④若{，，}为空间一个基底，则{+，+，+}构成空间的另一个基底；⑤若=﹣2+3，=﹣2+4﹣6，则∥．其中不正确结论的序号是 ． 三、解答题（每题12分，共60分）19．某校100名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这次100名学生数学成绩的平均数及中位数．16/1720．设F1，F2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，点在椭圆上，且点A到F1，F2两点的距离之和等于4．（1）求椭圆的方程．（2）若K为椭圆C上的一点，且∠F1KF2=30°，求△F1KF2的面积．21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2．（1）求双曲线C的方程；（2）求直线y=x+1被双曲线C截得的弦长．22．已知=（0，1，1），=（﹣1，3，0），（1）若k﹣与+互相垂直，求实数k的值；（2）若=（x，1，1），且|﹣|=，求实数x的值．23．已知如图几何体，正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，AF=2AB=2AD=2，M为AF的中点，BN⊥CE，垂足为N．（Ⅰ）求证：CF∥平面BDM；（Ⅱ）求二面角M﹣BD﹣N的大小． 16/172022-2022学年贵州省铜仁市松桃民中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题（每小题5分，共70分）1．一个年级有12个班，每个班的同学从1至50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下进行交流，这里运用的是（ ）A．系统抽样B．分层抽样C．抽签抽样D．随机抽样【考点】系统抽样方法；收集数据的方法．【分析】学生人数比较多，把每个班级学生从1到50号编排，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统抽样的方法．【解答】解：当总体容量N较大时，采用系统抽样．将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为预先制定的，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．本题中，把每个班级学生从1到50号编排，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这样选出的样本是采用系统抽样的方法，故选A． 2．下列命题中的假命题是（ ）A．∃x∈R，lgx=0B．∃x∈R，tanx=1C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R，2x＞0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A、B、C可通过取特殊值法来判断；D、由指数函数的值域来判断．【解答】解：A、x=1成立；B、x=成立；D、由指数函数的值域来判断．对于C选项x=﹣1时，（﹣1）3=﹣1＜0，不正确．故选C 3．“x2＞1”是“x＞1”的（ ）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x2＞1，解得：x＞1或x＜﹣1．进而判断出结论．【解答】解：由x2＞1，解得：x＞1或x＜﹣1．∴“x2＞1”是“x＞1”的必要不充分条件．故选：B． 16/174．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（ ）A．①③B．①④C．②③D．①②【考点】变量间的相关关系．【分析】观察两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，若带状越细说明相关关系越强，得到两个变量具有线性相关关系的图是①和④．【解答】解：∵两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，∴两个变量具有线性相关关系的图是①和④．故选B． 5．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：KS是否继续循环循环前11/第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557否故退出循环的条件应为k＞416/17故答案选A． 6．已知命题p：“|x﹣1|＞2”，命题q：“x∈Z”．如果“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x的取值范围为（ ）A．{x|x≥3，或x≤﹣1，x∈Z}B．{x|﹣1≤x≤3，x∉Z}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{0，1，2}【考点】复合命题的真假．【分析】先求出p为真命题的等价条件，利用“p且q”与“非q”同时为假命题，得到q为真命题，p为假命题．然后解x的取值范围即可．【解答】解：由|x﹣1|＞2，解得x＞3或x＜﹣1，即p：x＞3或x＜﹣1．∵非q为假命题，∴q为真命题．又p且q为假命题，∴p为假命题，即非p：﹣1≤x≤3，∴满足条件的x的取值范围为﹣1≤x≤3且x∈Z，∴x=﹣1，0，1，2，3．即{﹣1，0，1，2，3}．故选：C． 7．一枚硬币连掷三次至少出现一次正面的概率为（ ）A．B．C．D．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，根据对立事件的概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，∴至少一次正面向上的概率是1﹣=，故选A． 8．设α∈[0，π]，则方程x2sinα+y2cosα=1不能表示的曲线为（ ）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【考点】抛物线的标准方程．【分析】逐一检验答案，当sinα=0或cosα=0时，方程表示直线．当sinα=cosα＞0时，方程表示圆．当sinα与cosα符号相反时，双曲线．不论sinα与cosα怎样取值，曲线不可能是抛物线，从而进行排除筛选．【解答】解：当sinα=0或cosα=0时，方程表示直线．当sinα=cosα＞0时，方程表示圆．当sinα与cosα符号相反时，双曲线．不论sinα与cosα怎样取值，曲线不可能是抛物线．故选C． 16/179．在样本颇率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为（ ）A．28B．40C．56D．60【考点】频率分布直方图．【分析】设中间一组的频数为x，利用中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，建立方程，即可求x．【解答】解：设中间一组的频数为x，因为中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，所以其他8组的频数和为，由x+=140，解得x=40．故选B． 10．有一个正方体棱长为1，点A为这个正方体的一个顶点，在这个正方体内随机取一个点P，则点P到点A的距离大于1的概率为（ ）A．1B．C．1D．1【考点】几何概型．【分析】根据题意，分析可得，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与点A距离小于等于1的点在以A为球心，半径为1的八分之一个球内，计算可得其体积，易得正方体的体积；由几何概型公式，可得点P到点A的距离小于等于1的概率，借助对立事件概率的性质，计算可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与点A距离小于等于1的点在以A为球心，半径为1的八分之一个球内，其体积为V1=×；正方体的体积为13=1，则点P到点A的距离小于等于1的概率为：，故点P到点A的距离大于1的概率为1﹣，故选：D．16/17 11．若椭圆过抛物线y2=8x的焦点，且与双曲线x2﹣y2=1有相同的焦点，则该椭圆的方程为（ ）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】求出抛物线的焦点坐标，求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到c的值，然后根据椭圆的基本性质得到a与b的关系，设出关于b的椭圆方程，把抛物线的焦点坐标代入即可求出b的值，得到椭圆方程．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线x2﹣y2=1的焦点坐标为（，0），（﹣，0），所以椭圆过（2，0），且椭圆的焦距2c=2，即c=，则a2﹣b2=c2=2，即a2=b2+2，所以设椭圆的方程为：+=1，把（2，0）代入得：=1即b2=2，则该椭圆的方程是：．故选A 12．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的直线，交双曲线于P、Q，F1是另一焦点，若∠PF1Q=，则双曲线的离心率e等于（ ）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；双曲线的应用．【分析】根据由题设条件可知，|F1F2|=2c，由此可以求出双曲线的离心率e．【解答】解：由题意可知，|F1F2|=2c，16/17∵∠，∴，∴4a2c2=b4=（c2﹣a2）2=c4﹣2a2c2+a4，整理得e4﹣6e2+1=0，解得或（舍去）故选C． 13．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（ ）A．B．C．D．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角．【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，16/17故选A． 14．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△AOB的面积为（ ）A．5B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1）、B（x2，y2），算出抛物线的焦点坐标，从而可设直线AB的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联解消去x可得y2﹣y﹣4=0，利用根与系数的关系算出y1y2=﹣4．根据|AF|=5利用抛物线的抛物线的定义算出x1=4，可得y1=±4，进而算出|y1﹣y2|=5，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到△AOB的面积．【解答】解：根据题意，抛物线y2=4x的焦点为F（1，0）．设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程为y=k（x﹣1），由消去x，得y2﹣y﹣4=0，设A（x1，y1）、B（x2，y2），由根与系数的关系可得y1y2=﹣4．根据抛物线的定义，得|AF|=x1+=x1+1=5，解得x1=4，代入抛物线方程得：y12=4×4=16，解得y1=±4，∵当y1=4时，由y1y2=﹣4得y2=﹣1；当y1=﹣4时，由y1y2=﹣4得y2=1，∴|y1﹣y2|=5，即AB两点纵坐标差的绝对值等于5．因此△AOB的面积为：S=△AOB=S△AOF+S△BOF=|OF|•|y1|+|OF|•|y2|=|OF|•|y1﹣y2|=×1×5=．故选：B 二、填空题（每小题5分，共20分）15．某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取 40 名学生．【考点】分层抽样方法．16/17【分析】根据全校的人数和A，B两个专业的人数，得到C专业的人数，根据总体个数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，用C专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到结果．【解答】解：∵C专业的学生有1200﹣380﹣420=400，由分层抽样原理，应抽取名．故答案为：40 16．观察程序框图如图所示．若a=5，则输出b= 26 ．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，根据框图的流程计算程序运行的结果，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=5不满足条件a＞5，b=52+1=26，输出b的值为26．故答案为：26． 17．如图是甲、乙两名篮球运动员2022年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和为 53 ．【考点】茎叶图．【分析】由茎叶图可知甲、乙的得分数据，分别求出两组数据的中位数，作和得答案．【解答】解：由茎叶图可知，甲、乙的得分数据分别为：甲：17，22，22，28，34，35，36，中位数为28；乙：12，16，21，29，31，32，中位数为．∴甲、乙两人比赛得分的中位数之和为28+25=53．故答案为：53．16/17 18．对于以下命题：①||﹣||=|+|是，共线的充要条件；②对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若=2﹣+，则P、A、B、C四点共面．③如果•＜0，那么与的夹角为钝角④若{，，}为空间一个基底，则{+，+，+}构成空间的另一个基底；⑤若=﹣2+3，=﹣2+4﹣6，则∥．其中不正确结论的序号是 ①②③ ．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用不等式||﹣||=|+|⇔，方向相反，可判断判断①；利用共面向量定理判断②是否正确；利用•＜0，那么与的夹角为钝角或平角，来判断③是否正确；根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可判断④；根据向量共线的充要条件，可判断⑤【解答】解：对于①，||﹣||=|+|⇔，方向相反，故||﹣||=|+|是，共线的充分不必要条件，故错误；对于②，对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若=2﹣+，∵2﹣2﹣1=﹣1≠1，根据共面向量定理P、A、B、C四点不共面，故错误．对于③，如果•＜0，那么与的夹角为钝角或平角，故错误；对于④，用反证法，若{+，+，+}不构成空间的一个基底；设+=x（+）+（1﹣x）（+）⇒x=（x﹣1）+⇒=x+（1﹣x），即，，共面，∵{，，}为空间的一个基底，故正确；对于⑤，若=﹣2+3，=﹣2+4﹣6，则=﹣，则∥，故正确．故不正确结论的序号是：①②③，故答案为：①②③ 三、解答题（每题12分，共60分）19．某校100名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这次100名学生数学成绩的平均数及中位数．16/17【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据频率和为1，列出方程求出a的值；（2）根据频率分布直方图计算出平均数与中位数的值．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知：2a+0.04+0.03+0.02=0.1，所以a=0.005；（2）根据频率分布直方图，估计平均数为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）．估计中位数为：70+×10=（分）． 20．设F1，F2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，点在椭圆上，且点A到F1，F2两点的距离之和等于4．（1）求椭圆的方程．（2）若K为椭圆C上的一点，且∠F1KF2=30°，求△F1KF2的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由点A到F1，F2两点的距离之和等于4．可得2a=4，解得a．又点在椭圆上，可得，解得b2，即可得出．（2）=1．记|KF1|=m，|KF2|=n，则m+n=4，由余弦定理可得：，可得mn．利用，即可得出．【解答】解：（1）∵点A到F1，F2两点的距离之和等于4．∴2a=4，解得a=2．又点在椭圆上，∴，解得b2=3，所以所求椭圆的方程为．（2）=1．记|KF1|=m，|KF2|=n，则m+n=4，由余弦定理可得：，∴，，16/17∴，又，∴． 21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2．（1）求双曲线C的方程；（2）求直线y=x+1被双曲线C截得的弦长．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）利用双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2，求出a，c，可得b，即可求双曲线C的方程；（2）y=x+1代入=1，整理可得x2﹣2x﹣3=0，求出x，即可求直线y=x+1被双曲线C截得的弦长．【解答】解：（1）∵双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2，∴a=1，c=，∴b=，∴双曲线C的方程=1；（2）y=x+1代入=1，整理可得x2﹣2x﹣3=0，∴x=﹣1或3，∴直线y=x+1被双曲线C截得的弦长==4． 22．已知=（0，1，1），=（﹣1，3，0），（1）若k﹣与+互相垂直，求实数k的值；（2）若=（x，1，1），且|﹣|=，求实数x的值．16/17【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】（1）根据两非零向量垂直的充要条件，即可建立关于k的方程，解方程即得k的值；（2）先求向量的坐标，根据坐标表示出向量的长度，即可建立关于x的方程，解方程即得x的值．【解答】解：（1），，由与互相垂直可知：，得：；（2），由条件可知：，解得：x=﹣1；即实数x的值为：﹣1． 23．已知如图几何体，正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，AF=2AB=2AD=2，M为AF的中点，BN⊥CE，垂足为N．（Ⅰ）求证：CF∥平面BDM；（Ⅱ）求二面角M﹣BD﹣N的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC，BD交于O，连接MO，由三角形中位线定理可得OM∥CF，再由线面平行的判定得答案；（Ⅱ）分别以AD，AB，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面MBD与平面DNB的一个法向量，利用两个平面法向量所成角求得二面角M﹣BD﹣N的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC，BD交于O，连接MO，∵M为AF的中点，∴OM∥CF，∵OM⊂平面BDM，CF⊄平面BDM，∴CF∥平面BDM；（Ⅱ）解：分别以AD，AB，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵AF=2AB=2AD=2，M为AF的中点，BN⊥CE，∴D（1，0，0），B（0，1，0），M（0，0，1），N（，1，），则，，设平面MBD的一个法向量为，16/17则，取z1=1，得；，，设平面DNB的一个法向量为=（x2，y2，z2），则，取x2=1，得．则cos＜＞==．∴二面角M﹣BD﹣N的大小为90°． 16/17
