a贵州省遵义市2022-2022学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={1,2，3，4，5}，集合A={1,3，4}，集合B={2,4}，则(∁UA)∪B为( )A.{2,4，5}B.{1,3，4}C.{1,2，4}D.{2,3，4，5}【答案】A【解析】解：∵全集U={1,2，3，4，5}，集合A={1,3，4}，∴∁UA={2,5}，∵B={2,4}，∴(∁UA)∪B={2,4，5}．故选：A．根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.cos600∘=( )A.−12B.32C.12D.−32【答案】A【解析】解：cos600∘=cos(−120∘)=cos120∘=−12；故选：A．利用诱导公式直接化简函数的表达式，通过特殊角的三角函数值求解即可．本题是基础题，考查三角函数的求值，注意正确应用诱导公式是解题的关键．3.已知角α的终边经过点P(4,−3)，则2sinα+cosα的值等于( )A.−35B.45C.25D.−25【答案】D【解析】解：利用任意角三角函数的定义，sinα=yr=−316+9=−35，cosα=xr=45∴2sinα+cosα=2×(−35)+45=−25故选：D．利用任意角三角函数的定义，分别计算sinα和cosα，再代入所求即可11/11\n本题主要考查了任意角三角函数的定义及其用法，属基础题1.函数y=1log2(x−2)的定义域为( )A.(−∞,2)B.(2,+∞)C.(2,3)∪(3,+∞)D.(2,4)∪(4,+∞)【答案】C【解析】解：要使原函数有意义，则log2(x−2)≠0x−2>0，解得：2<x<3，或x>3所以原函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞)．故选：C．根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可．本题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则，属于基础题．2.已知函数f(x)=2x+x−4，在下列区间中包含f(x)零点的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=2x+x−4，是连续函数，f(1)=−1<0，f(2)=2>0，根据零点存在定理，∵f(1)⋅f(2)<0，∴函数在(1,2)存在零点，故选：B．要判断函数f(x)=2x+x−4，的零点的位置，根据零点存在定理，则该区间两端点对应的函数值，应异号，将四个答案中各区间的端点依次代入函数的解析式，易判断零点的位置．要判断函数的零点位于哪个区间，可以根据零点存在定理，即如果函数f(x)在区间(a,b)上存在一个零点，则f(a)⋅f(b)<0，如果方程在某区间上有且只有一个根，可根据函数的零点存在定理进行解答，但要注意该定理只适用于开区间的情况，如果已知条件是闭区间或是半开半闭区间，要分类讨论．3.为了得到函数y=sin(2x−π3)的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度【答案】D11/11\n【解析】解：把函数y=sin2x的图象向右平移π6个单位长度，可得函数y=sin2(x−π6)=sin(2x−π3)的图象，故选：D．由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．1.已知向量a，b，c满足|a|=1，|b|=2，c=a+b，c⊥a，则a与b的夹角等于( )A.120∘B.60∘C.30∘D.90∘【答案】A【解析】解：∵c⊥a，c=a+b，∴(a+b)⋅a=0∴a⋅b=−|a|2=−1cos<a,b> =ab|a||b|=−12∴a与b的夹角等于1200故选：A．要求夹角，就要用到数量积，所以从c⊥a入手，将c=a+b，代入，求得向量a，b的数量积，再用夹角公式求解．本题主要考查向量的数量积和向理的夹角公式，数量积是向量中的重要运算之一，是向量法解决其他问题的源泉．2.设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是( )A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a【答案】D【解析】解：∵0<0.32<1log20.3<020.3>1∴log20.3<0.32<20.3，即c<b<a故选：D．要比较三个数字的大小，可将a，b，c与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系．本题主要考查了对数值、指数值大小的比较，常常与中间值进行比较，属于基础题．3.若扇形的圆心角是π3，半径为R，则扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为( )A.1：2B.1：3C.2：3D.3：4【答案】C11/11\n【解析】解：∵扇形的圆心角是π3，半径为R，∴S扇形=12lR=πR26∵扇形的内切圆的圆心在圆心角的角平分线上，∴几何知识，r+2r=R，所以内切圆的半径为R3，∴S圆形=πR29，∴扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为πR29：πR26=23故选：C．确定扇形的内切圆的半径，分别计算扇形的内切圆面积与扇形的面积，即可得到结论．本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，确定扇形的内切圆的半径是关键．1.如果偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数且最小值是2，那么f(x)在(−∞,0]上是( )A.减函数且最小值是2B.减函数且最大值是2C.增函数且最小值是2D.增函数且最大值是2【答案】A【解析】解：∵偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数且最小值是2，由偶函数在对称区间上具有相反的单调性可知，f(x)在(−∞,0]上是减函数且最小值是2．故选：A．直接由函数奇偶性与单调性的关系得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的关系，关键是明确偶函数在对称区间上具有相反的单调性，是基础题．2.已知f(x)=sin(2022x+π6)+cos(2022x−π3)的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则A|x1−x2|的最小值为( )A.π2022B.2π2022C.4π2022D.π4034【答案】B【解析】解：f(x)=sin(2022x+π6)+cos(2022x−π3)=sin2022xcosπ6+cos2022xsinπ6+cos2022xcosπ3+sin2022xsinπ3=32sin2022x+12cos2022x+12cos2022x+32sin2022x=3sin2022x+cos2022x=2sin(2022x+π6).或f(x)=sin(2022x+π6)+cos(2022x−π3)=sin(2022x+π6)+cos(π3−2022x)=2sin(2022x+π6).∴f(x) 的最大值为A=2；11/11\n由题意得，|x1−x2|的最小值为T2=π2022，∴A|x1−x2|的最小值为2π2022．故选：B．根据题意，利用三角恒等变换化简函数f(x)的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，即可求出A|x1−x2|的最小值．本题考查了三角函数的恒等变换以及正弦、余弦函数的周期性和最值问题，是基础题目．1.定义一种运算a⊗b=b,a>ba,a≤b，若f(x)=2x⊗|x2−4x+3|，当g(x)=f(x)−m有5个零点时，则实数m的取值范围是( )A.(0,1)B.[0,1]C.(1,3)D.[1,3]【答案】A【解析】解：由题意，f(x)=2x⊗|x2−4x+3|，其图象如下：结合图象可知，g(x)=f(x)−m有5个零点时，实数m的取值范围是(0,1)，故选：A．画出f(x)=2x⊗|x2−4x+3|，图象，结合图象可知，求解g(x)=f(x)−m有5个零点时m的取值.，本题考查了学生对新定义的接受与应用能力及数形结合的思想应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）2.函数f(x)=(m2+3m+1)⋅xm2+m−1是幂函数，且其图象过原点，则m=______．【答案】−3【解析】解：∵函数f(x)=(m2+3m+1)⋅xm2+m−1是幂函数，且其图象过原点，∴m2+3m+1=1，且m2+m−1>0，∴m=−3．故填−3．由已知知函数是幂函数，则其系数必定是1，即m2+3m+1=1，结合图象过原点，从而解出m的值．11/11\n本题考查幂函数的图象与性质、数形结合，解题时应充分利用幂函数的图象，掌握图象的性质：当指数大于0时，图象必过原点.需结合函数的图象加以验证．1.已知函数f(x)=ax+bx2+1是定义在(−∞,+∞)上的奇函数，且f(12)=−25，则f(1)=______．【答案】12【解析】解：(Ⅰ)∵函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(−1,1)上的奇函数，∴f(−x)=−f(x)，即 −ax+b1+x2=−ax+b1+x2，∴−ax+b=−ax−b，∴b=0，∵f(12)=25，∴12a1+(12)2=25，解得a=1，∴f(x)=x1+x2，∴f(1)=11+12=12．故答案为：12．由题意可得，f(−x)=−f(x)，代入可求b，然后由且f(12)=25可求a，进而可求函数解析式；本题主要考查了奇函数定义的应用及待定系数求解函数的解析式，考查了函数的单调性在不等式的求解中的应用．2.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若AO=12(AB+AC)，且|AO|=|AB|，则BA⋅BC=______．【答案】1【解析】解：△ABC的外接圆的圆心为O，且AO=12(AB+AC)，∴O为BC的中点，故△ABC为直角三角形，|AO|=|AB|=|BO|=1，∴△ABO为等边三角形，∠B=13π，则BA⋅BC=1×2×12=1．故答案为：1．由△ABC的外接圆的圆心为O满足AO=12(AB+AC)，可知O为BC的中点，且△ABC为直角三角形，然后结合向量数量积的定义可求．11/11\n本题主要考查了向量基本定理，向量的数量积的定义的应用，解题的关键是找到△ABC为直角三角形的条件．1.若sin(π6+α)=13，则cos(2π3−2α)=______【答案】−79【解析】解：sin(π6+α)=13，∴cos[π2−(π6+α)]=cos(π3−α)=13，∴cos(2π3−2α)=2cos2(π3−α)−1=2×19−1=−79．故答案为：−79．利用诱导公式和二倍角公式，计算即可．本题考查了三角函数求值运算问题，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）2.已知向量AB=(4,3)，AD=(−3,−1)，点A(−1,−2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2,y)满足PB=λBD(λ∈R)，求y与λ的值．【答案】解：(1)设B(x,y).∵A(−1,−2)，∴AB=(x+1,y+2)=(4,3)，∴y+2=3x+1=4，解得y=1x=3即B(3,1)．同理可得D(−4,−3)．∴线段BD的中点M的坐标为(−12,−1)，(2)∵PB=(1,1−y)，BD=(−7,−4)，∴由PB=λBD得(1,1−y)=λ(−7,−4)，∴解得y=37，λ=−17．【解析】利用向量中点坐标公式和向量共线定理即可得出．熟练掌握向量中点坐标公式和向量共线定理是解题的关键．3.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213∘+cos217∘−sin 13∘cos 17∘；②sin215∘+cos215∘−sin 15∘cos 15∘；③sin218∘+cos212∘−sin11/11\n 18∘cos 12∘；④sin2(−18∘)+cos248∘−sin(−18∘)cos (−48∘)；⑤sin2(−25∘)+cos255∘−sin(−25∘)cos (−55∘)．(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【答案】(本小题满分12分)解：方法一：(1)选择②式，计算如下：sin215∘+cos215∘−sin 15∘cos 15∘=1−12sin 30∘=1−14=34…(4分)(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30∘−α)−sin αcos(30∘−α)=34．证明如下：sin2α+cos2(30∘−α)−sin αcos(30∘−α)=sin2α+(cos 30∘cos α+sin 30∘sin α)2−sin α(cos 30∘cos α+sin 30∘sin α)=sin2α+34cos2α+32sin αcos α+14sin2α−32sin αcos α−12sin2α=34sin2α+34cos2α=34…(12分)方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30∘−α)−sin αcos(30∘−α)=34．证明如下：sin2α+cos2(30∘−α)−sin αcos(30∘−α)=1−cos2α2+1+cos60∘−2α2−sin α(cos 30∘cos α+sin 30∘sin α)=12−12cos 2α+12+12(cos 60∘cos 2α+sin 60∘sin 2α)−32sin αcos α−12sin2α=12−12cos 2α+12+14cos 2α+34sin 2α−34sin 2α−14(1−cos 2α)=1−14cos 2α−14+14cos 2α=34…(12分)【解析】方法一：(1)选择②式，由倍角公式及特殊角的三角函数值即可得解.(2)发现推广三角恒等式为sin2α+cos2(30∘−α)−sin αcos(30∘−α)=34，由三角函数中的恒等变换应用展开即可证明．方法二：(1)同方法一.(2)发现推广三角恒等式为sin2α+cos2(30∘−α)−sin αcos(30∘−α)=34.由降幂公式，三角函数中的恒等变换应用展开即可证明．本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，归纳推理，属于基本知识的考查．1.销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1、y2万元，它们与投入资金x万元的关系分别为y1=mx+1+a，y2=bx，(其中m，a，b都为常数)，函数y1，y2对应的曲线C1、C2如图所示．(1)求函数11/11\ny1、y2的解析式；(2)若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．【答案】解：(1)由题意m+a=03m+a=85，解得m=45,a=−45，y1=45x+1−45,(x≥0)…(4分)又由题意8b=85得b=15，y2=15x(x≥0)…(7分)(不写定义域扣一分)(2)设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入(4−x)万元由(1)得y=45x+1−45+15(4−x)，(0≤x≤4)…(10分)令x+1=t,(1≤t≤5)，则有y=−15t2+45t+15=−15(t−2)2+1，(1≤t≤5)，当t=2即x=3时，y取最大值1．答：该商场所获利润的最大值为1万元.…(14分)(不答扣一分)【解析】(1)根据所给的图象知，两曲线的交点坐标为(8,58)，由此列出关于m，a的方程组，解出m，a的值，即可得到函数y1、y2的解析式；(2)对甲种商品投资x(万元)，对乙种商品投资(4−x)(万元)，根据公式可得甲、乙两种商品的总利润y(万元)关于x的函数表达式；再利用配方法确定函数的对称轴，结合函数的定义域，即可求得总利润y的最大值．本题考查了函数模型的构建以及换元法、配方法求函数的最值，体现用数学知识解决实际问题，属于基础题．1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中x∈R，A>0，ω>0，−π2<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求A，ω，φ的值；(2)已知在函数f(x)图象上的三点M，N，P的横坐标分别为−1，1，3，求sin∠MNP的值．11/11\n【答案】解：(1)由图知，A=1.(1分)f(x)的最小正周期T=4×2=8，所以由T=2πω，得ω=π4.(4分)又f(1)=sin(π4+ϕ)=1且−π2<ϕ<π2，所以，π4+ϕ=π2，解得ϕ=π4.(7分)(2)因为f(−1)=0，f(1)=1，f(3)=0，所以M(−1,0)，N(1,1)，P(3,0)，设Q(1,0)，(9分)在等腰三角形MNP中，设∠MNQ=α，则sinα=25,cosα=15.(11分)所以sin∠MNP=sin2α=2sinαcosα=2×25×15=45.(13分)【解析】(1)根据y=Asin(ωx+⌀)的图象特征，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．(2)求出三点M，N，P的坐标，在等腰三角形MNP中，设∠MNQ=α，求出sinα、cosα的值，再利用二倍角公式求得sin∠MNP的值．本题主要考查利用y=Asin(ωx+⌀)的图象特征，由函数y=Asin(ωx+⌀)的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于中档题．1.已知a=(sinx,−cosx),b=(cosx,3cosx)，函数f(x)=a⋅b+32．(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x≤π2时，求函数f(x)的值域．【答案】解：(1)∵f(x)=sinxcosx−3cos2x+32=12sin2x−32(cos2x+1)+32=12sin2x−32cos2x=sin(2x−π3) …(2分)∴f(x)的最小正周期为π，令sin(2x−π3)=0，得2x−π3=kπ，∴x=kπ2+π6，(k∈Z)．故所求对称中心的坐标为(kπ2+π6,0)，(k∈Z)−…(4分)(2)∵0≤x≤π2，∴−π3<2x−π3≤2π311/11\n …(6分)∴−32≤sin(2x−π3)≤1，即f(x)的值域为[−32,1]…(8分)【解析】(1)由向量的坐标运算可求得f(x)=sin(2x−π3)，从而可求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)由0≤x≤π2可得2x−π3∈[−π3,2π3]，从而可求得函数f(x)的值域．本题考查平面向量数量积的运算，考查两角和与差的正弦函数，考查正弦函数的定义域和值域及其周期，属于三角中的综合，考查分析问题、解决问题的能力．1.已知函数f(x)=x2−4x+a+3，g(x)=mx+5−2m．(Ⅰ)若y=f(x)在[−1,1]上存在零点，求实数a的取值范围；(Ⅱ)当a=0时，若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使f(x1)=g(x2)成立，求实数m的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)：因为函数f(x)=x2−4x+a+3的对称轴是x=2，所以f(x)在区间[−1,1]上是减函数，因为函数在区间[−1,1]上存在零点，则必有：f(−1)≥0f(1)≤0即a+8≥0a≤0，解得−8≤a≤0，故所求实数a的取值范围为[−8,0]．(Ⅱ)若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使f(x1)=g(x2)成立，只需函数y=f(x)的值域为函数y=g(x)的值域的子集．f(x)=x2−4x+3，x∈[1,4]的值域为[−1,3]，下求g(x)=mx+5−2m的值域．①当m=0时，g(x)=5−2m为常数，不符合题意舍去；②当m>0时，g(x)的值域为[5−m,5+2m]，要使[−1,3]⊆[5−m,5+2m]，需5+2m≥35−m≤−1，解得m≥6；③当m<0时，g(x)的值域为[5+2m,5−m]，要使[−1,3]⊆[5+2m,5−m]，需5−m≥35+2m≤−1，解得m≤−3；综上，m的取值范围为(−∞,−3]∪[6,+∞)．【解析】(1)y=f(x)在[−1,1]上单调递减函数，要存在零点只需f(1)≤0，f(−1)≥0即可(2)存在性问题，只需函数y=f(x)的值域为函数y=g(x)的值域的子集即可．本题主要考查了函数的零点，值域与恒成立问题．11/11
