2022届东山二中高三（上）理科数学期末考试卷班级座号姓名一、选择题：（本大题共10小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共50分）1、设复数满足，则=()A.B.C.D.2、设集合P＝{|}，则集合P的所有子集个数是( )A.2B.3C.7D.83、下列结论正确的是()A.若向量，则存在唯一的实数使得B.已知向量为非零向量，则“的夹角为钝角”的充要条件是“＜0”C.命题：若，则或的逆否命题为：若且，则D.若命题，则4、设随机变量服从正态分布，若，则实数等于()A．B．C．5D．35、等比数列的前n项和为,，则=（）A.27B.81C.243D.7296、设函数的图像关于直线对称,它的周期是，则（）A.的图象过点B.的一个对称中心是C.在上是减函数D.将的图象向右平移个单位得到函数的图象7、图一是某高校学生身高的条形统计图，从左到右表示学生人数依次记为A1、A2、…A10（如A2表示身高在内的人数）。图二是统计图一中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在内的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填的条件及输出的值分别是（）\nA．B．C．D．8、如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为()A．B．C．D．9、已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，e1，e2又分别是两曲线的离心率，若PF1PF2，则的最小值为()A.B.C.4D.910、已知都是定义在上的函数，，，且，且，．若数列的前项和大于，则的最小值为（ ）A．6B．7C．8D．5二、填空题：(本大题共5小题，每小题4分，共20分)11、设二项式的展开式中常数项为，则＝．12、平面向量与的夹角为60°，=(2,0)，||=1，则|+2|＝13、记集合和集合表示的平面区域分别为，若在区域内任取一点，则点落在区域的概率为.14、设，则函数的最大值为.\n15、已知两个正数，可按规则扩充为一个新数c，在三数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个数称为一次操作．若，经过6次操作后扩充所得的数为（m，n为正整数），则的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16、（本小题满分13分）已知,其中,,.（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）在中,角所对的边分别为,,,且向量与共线，求边长和的值.17、（本小题满分13分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2022年12月份某时刻实时监测到的数据：城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值广州118东莞137中山95江门78云浮76茂名107揭阳80深圳94珠海95湛江75潮州94河源124肇庆48清远47佛山160惠州113汕头88汕尾74阳江112韶关68梅州84（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围[0,50)[50，100）[100,150)[150,200)城市个数（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取个城市，省环保部门再从中随机选取个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为”，求的分布列和数学期望．18、（本小题满分13分）如图,的外接圆的半径为,所在的平面,,,,且,.（1）求证:平面ADC平面BCDE.（2）试问线段DE上是否存在点M,使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为？若存在,确定点M的位置,若不存在,请说明.\n19、（本小题满分13分）已知x∈[0，1]，函数.（1）求函数f（x）的单调区间和值域；（2）设a≤-1，若，总存在，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围.20、（本小题满分14分）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若点为抛物线的准线上的任意一点，过点作抛物线的切线与，切点分别为，求证：直线恒过某一定点；(Ⅲ)分析(Ⅱ)的条件和结论，反思其解题过程，再对命题(Ⅱ)进行变式和推广．请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）．21、（本小题满分14分）本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，在答题卡上把所选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵，绕原点逆时针旋转的变换所对应的矩阵为．（Ⅰ）求矩阵；（Ⅱ）若曲线：在矩阵对应变换作用下得到曲线，求曲线的方程．（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程是（其中t为参数），圆c的极坐标方程为，（Ⅰ）将圆C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程。（Ⅱ）过直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值\n（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲设函数f(x)=|x－4|+,（Ⅰ）求f(x)的最小值m（Ⅱ）当(a,b,c∈R)时,求的最小值.\n2022届东山二中数学理期末参考答案：CDCACBCDBA11、，12、2,13、,14、,15、21,15、【解析】因为p＞q＞0，所以第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1，因为c1＞p＞q，所以第二次得：c2=（c1+1）（p+1）-1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）2（q+1）-1，所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）-1=（p+1）3（q+1）2-1，第四次可得：c4=（c3+1）（c2+1）-1=（p+1）5（q+1）3-1，故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13-1，因为经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n-1（m，n为正整数），所以m=8，n=13，所以m+n=21．16、解：(1)由题意知.的最小正周期………3分在上单调递减，令，得的单调递减区间………6分(2)，,又，即………9分，由余弦定理得=7.因为向量与共线，所以，由正弦定理得..………13分17、解:（1）根据数据，完成表格如下：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围[0,50)[50，100）[100,150)[150,200)城市频数21261…………………………………3分（2）按分层抽样的方法，从“良好”类城市中抽取个，从“轻度污染”类城市中抽取个，……………………………6分所以抽出的“良好”类城市为个，抽出的“轻度污染”类城市为个．根据题意的所有可能取值为：．……………………………7分,，．………11分\n的分布列为：所以．………………………………………………12分答：的数学期望为个．…………………………………………………13分18、解（1）∵CD⊥平面ABC，BE//CD∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB∵BE=1,∴，从而∵⊙的半径为，∴AB是直径，∴AC⊥BC又∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD平面BCDE，∴平面ADC平面BCDE………6分（2）方法1：假设点M存在，过点M作MN⊥CD于N，连结AN，作MF⊥CB于F，连结AF∵平面ADC平面BCDE，∴MN⊥平面ACD，∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角设MN=x，计算易得，DN=，MF=故解得：（舍去），故，从而满足条件的点存在，且方法2：建立如图所示空间直角坐标系C—xyz，则：A（4，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），E（0，2，1），O（0，0，0），则………7分易知平面ABC的法向量为，假设M点存在，设，则，再设，即，从而…10分设直线AM与平面ACD所成的角为，则：\n解得，其中应舍去，而故满足条件的点M存在，且点M的坐标为………13分19、解:（Ⅰ）f'（x）=2x-，令f'（x）=0，解得：，x=-1（舍去）…2分列表：x0（0，）（，1）1f'（x）-0+f（x）ln2↘↗1-ln可知f（x）的单调减区间是[0，]，增区间是[，1]；………4分因为<1-ln=ln2-（ln3-1）<ln2，所以当x[0，1]时，f（x）的值域为[，ln2]………7分（Ⅱ）g'（x）=3（x2-a2）因为a≤-1，x[0，1]所以g'（x）<0，g（x）为[0，1]上的减函数，g（1）≤g（x）≤g（0），所以g（x）[1-4a-3a2，-4a]因为当x[0，1]时，f（x）的值域为[，ln2]………10分由题意知：[，ln2][1-4a-3a2，-4a]所以又a≤-1，得a≤-。………13分20．本题主要考查抛物线的标准方程与性质、直线与抛物线的位置关系、归纳推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．解：（Ⅰ）依题意可设抛物线的方程为：（）．由焦点为可知，所以．所以所求的抛物线方程为．4分（Ⅱ）方法一：\n设切点、坐标分别为，由（Ⅰ）知，．则切线的斜率分别为，故切线的方程分别为，，5分联立以上两个方程，得.故的坐标为，6分因为点在抛物线的准线上，所以，即．7分设直线的方程为，代入抛物线方程，得，所以，即，所以．9分故的方程为，故直线恒过定点．10分方法二：设切点、坐标分别为，设，易知直线斜率必存在，可设过点的切线方程为．由，消去并整理得．①因为切线与抛物线有且只有一个交点，所以，整理得，②所以直线斜率为方程②的两个根，故，5分另一方面，由可得方程①的解为，所以．6分假设存在一定点，使得直线恒过该定点，则由抛物线对称性可知该定点必在轴上，设该定点为，7分则．所以，所以，整理得所以，所以9分所以直线过定点．10分（Ⅲ）结论一：若点为直线（）上的任意一点，过点作抛物线（）的切线，切点分别为，则直线恒过定点．14分结论二：过点（）任作一条直线交抛物线于两点，分别以点为切点作该抛物线的切线，两切线交于点，则点必在定直线上．14分结论三：已知点为直线上的一点，若过点可以作两条直线与抛物线（）相切，切点分别为，则直线恒过定点．14分说明：①以上两结论只要给出其中一个即可或给出更一般性的结论；②以上两结论中的抛物线开口方向均可改变；③该小题评分可对照以下表格分等级给分：\n得分答题情况0分写出与命题（ⅰ）无关的结论．所给命题的条件与结论均存在问题．1分将准线或抛物线改为其它特殊情况，结论正确.将准线或抛物线其中一个一般化，但结论中的定点（或定直线）有误．2分写出命题的逆命题，结论正确.(其它分点逆命题相应给分)将准线和抛物线都推广成一般情况，但结论中的定点（或定直线）有误．3分将准线和抛物线其中一个推广成一般情况，结论正确．将准线和抛物线都推广成一般情况，但中漏写一个或两个．4分将准线和抛物线都推广成一般情况，结论正确．21.（1）解：（Ⅰ）由已知得，矩阵……3分（Ⅱ）矩阵，它所对应的变换为解得把它代人方程整理，得，即经过矩阵变换后的曲线方程为………7分（2）解：(Ⅰ)∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ，∴x2+y2=x-y，即（x-）2+（y+）2=1，∴圆C是以M（，-）为圆心，1为半径的圆化直线l的参数方程（t为参数）为普通方程：x-y+4=0，……3分(Ⅱ)∵圆心M（，-）到直线l的距离为d==5，……5分要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心M（，-）到直线的距离d，由勾股定理求得切线长的最小值为\n==2．……7分（3）解:(Ⅰ)法1:f(x)=|x－4|+≥|(x－4)－(x－3)|=1,故当3≤x≤4时函数f(x)的最小值为1.m=1.………4分法2:.……1分x≥4时,f(x)≥1;x<3时,f(x)>1,3≤x≤4时,f(x)=1,……3分故函数f(x)的最小值为1.m=1.……4分(Ⅱ)由柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2=1……5分故a2+b2+c2≥………6分当且仅当时取最小值等号……7分
