2022-2022学年（上）期中考试卷高二数学（文）一、选择题1．命题p：“∃x0∈R，x02﹣1≤0”的否定￢p为（ ）A.∀x∈R，x2﹣1≤0B.∀x∈R，x2﹣1＞0C.∃x0∈R，x02﹣1＞0D.∃x0∈R，x02﹣1＜02．命题“若，则”的逆否命题是（）.A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则3．设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件4．命题的值不超过，命题是无理数，则（）．A.命题“”是假命题B.命题“”是假命题C.命题“”是假命题D.命题“”是真命题5．在等比数列中，已知，则（）A.10B.50C.25D.756．已知，则的最小值为（ ）A.B.C.D.7．不等式的解集为（）A.B.C.D.8．在中，，则等于（）A.B.C.或D.或-14-\n9．若等差数列的前项和满足，，则（）A.B.0C.1D.310．在中，角对边分别为，这个三角形的面积为，则（）A.B.C.D.11．已知满足（为常数），若最大值为，则=()A.B.C.D.12．若对任意的x∈[﹣1，2]，都有x2﹣2x+a≤0（a为常数），则a的取值范围是A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，0]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1]二、填空题13．不等式的解集为______．14．已知点满足，则的最大值为__________．15.若不等式的解集为，则a+b=__________．16．下表给出一个“三角形数阵”：，，，……已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等.记第行第列的数为，则________三、解答题17．如图，在直三棱柱中，，点是的中点．-14-\n求证：平面．18．已知函数.求函数的最小正周期19．已知实数x，y满足.求ω＝x2＋y2的最大值和最小值20．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2022年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图.（l）计算这40名广场舞者中年龄分布在的人数；（2）若从年龄在中的广场舞者任取2名，求这两名广场舞者中恰有一人年龄在的概率.21．在中，，，的对边分别为，若，（1）求的大小；（2）若，，求的值.-14-\n22．已知数列是递增的等差数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．高二数学（文）参考答案1．B【解析】命题p：“∃x0∈R，x02﹣1≤0”为特称命题，其否定为全称命题，∴￢p为∀x∈R，x2﹣1＞0．故选：B．点睛：命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.2．C【解析】命题若“”则“”的逆命题是“”则“”，所以“若，则”的逆否命题是：“若，则”，本题选择C选项.3．A【解析】由“”解得或,故“”能使“”成立；“”成立时，“”不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.4．B【解析】命题为假，，命题为真，是无理数，“”为真命题，“”为真命题，-14-\n“”为假命题，“”为假命题．故选．点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.5．C【解析】试题分析：，选C.考点：等比数列性质【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.6．D【解析】，则，当且仅当时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）7．B【解析】不等式即：转化为高次不等式：(x−3)(x+2)(x−1)<0利用数轴穿根法解得，-14-\n本题选择B选项.点睛：解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决．8．D【解析】由正弦定理得，所以，又，所以，所以或。选D。点睛：已知三角形的两边和一边对角解三角形时，需利用正弦定理求另一边的对角，解题时要注意讨论该角的个数，这是解题的难点，应引起注意．9．B【解析】根据等差数列的性质仍成等差数列，则，则，，选B.10．D【解析】依题意，解得，由余弦定理得.【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用.题目所给已知条件包括一个角和一条边，还给了三角形的面积，由此建立方程可求出边的长，再用余弦定理即可求得边的长.利用正弦定理或者余弦定理解题时，主要根据题目所给的条件选择恰当的公式解列方程.11．B【解析】画出满足条件的平面区域，如图所示：-14-\n由，解得，将转化为，显然直线过时，最大，的最大值为，解得，故选B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.12．A【解析】试题分析：不等式变形为，函数在上的最小值为则a的取值范围是（﹣∞，﹣3]考点：二次函数性质及不等式与函数的转化13．（－2,1）【解析】．点睛：解分式不等式的方法是：移项，通分化不等式为，再转化为整式不等式，然后利用二次不等式或高次不等式的结论求解．14．3-14-\n【解析】画出满足条件的平面区域，如图示：由表示过平面区域的点与的直线的斜率，由，得，显然直线过时，取得最大值，，故答案为：3.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意前面的系数为负时，截距越大，值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.15．【解析】16．4【解析】观察“三角形数阵”，根据等差数列的通项公式可得第行第个数为，再由等比数列的通项公式可得第行第列的数为，所以，当时，共有个位置出现，即前20行中这个数共出现了次，故答案为，.17．（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）由直棱柱性质得，再由已知条件-14-\n根据线面垂直判定定理得（2）设与相交于点，则根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论（）证明：在直三棱柱中，平面，∴，又∵，点，、平面，∴平面，又平面，∴．（）设与相交于点，连接，∵、分别是、中点，∴，∵平面，平面，∴平面．点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18．(1),单调增区间（2）-14-\n【解析】试题分析：（1）由降幂公式与倍角公式，及辅助角公式，化简函数.再由，解得单调递增区间。（2）由，及解，再由和角A余弦定理和均值不等式，可得，要注意三角形两边之和大于第三边，即，所以。试题解析：（1）函数变形，即，令，解得，所以单调增区间（2），所以解得，又，在△中，，等边三角形时等号成立，所以，又因为是三角形所以，所以。19．（1）13,0.8；（2）3，.【解析】试题分析：首先画出不等式组表示的平面区域，关键目标函数的几何意义求最值．（1）目标函数看作区域内的点到原点距离平方的最值；（2）表示过(−1,−1)以及区域内的点的直线的斜率.试题解析：由已知不等式组表示的平面区域如图-14-\n(1)ω＝x2＋y2表示区域内的点到原点距离平方的最值,所以最大值为B的原点距离的平方,为；最小值是A的原点距离的平方，为1.(2)t＝表示过(−1,−1)以及区域内的点的直线的斜率,所以最大值为与C连线的斜率为,最小值为与A连线的斜率为；点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.20．(1)30；(2).【解析】试题分析：（1）由题意可知，样本容量为40，由条形图可求得的频率和为，所以n=频率样本容量。（2）由直方图可知，年龄在有2人，分别记为，在有4人，分别记为.采用枚举法，可知总共情况是15种，满足条件的是8种，所以概率为。试题解析：（1）由表中数据知，这40名广场舞者中年龄分布在的人数为.（2）由直方图可知，年龄在有2人，分别记为，在有4人，分别记为.-14-\n现从这6人中任选两人，共有如下15种选法：，，，，，，，，，，，，，，，，其中恰有1人在有8种，故这两名广场舞者恰有一人年龄在的概率为.21．（1）（2），或，【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，再根据三角形内角范围求的大小（2）由余弦定理得，代入得，解方程组可得的值.试题解析：解：（1）由已知得∴∵∴∵∴，（2）∵即∴∴∵∴，或，点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.-14-\n22．（1）（2）【解析】试题分析：（1）由等差数列通项公式得，即可求得，；（2）由（1）得，则可得.试题解析：（1）设（2）的前项和为①②①-②得故【点睛】解决本题的关键之处有：-14-\n利用方程思想建立方程组求得首项与公差利用错位相减法求和.-14-
