2022-2022学年上学期期中试卷高三数学（文科）试题（考试时间：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，集合，则（）A．B．C．D．2.为虚数单位，复数的虚部为（）A．1B．0C．D．以上都不对3.已知双曲线的渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．4.已知，，则在方向上的投影为（）A.B.C.D.5.已知等比数列的首项为，公比为，满足且，则（）A.的各项均为正数B.的各项均为负数C.为递增数列D.为递减数列6.函数的图像大致为（）A.B.C.D.-12-\n7.已知点P的坐标（x，y）满足，过点P的直线l与圆C：x2+y2=16相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）A．B．C．D．8.如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内可以填入的条件是（）A．B．C．D．9.设函数，把的图象向左平移个单位后，得到的部分图象如图所示，则的值等于（）A．B．C．D．110.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（）A．B．C．D．11.已知数列是等差数列，其前n项和有最大值，若<-1，当其前n项和Sn>0时n-12-\n的最大值是（）A.24B.25C.47D.4812.已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若函数，则14.已知，，则．15.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的上下顶点分别为A，B，右顶点为C，右焦点为F，延长BF与AC交于点P，若O，F，P，A四点共圆，则该椭圆的离心率为．16．已知A，B，C是圆x2+y2=1上互不相同的三个点，且满足||=||，则的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．(本小题满分12分)设数列的前项和为,且，（Ⅰ）证明:数列是等比数列；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和为．18．（本小题满分12分）在△ABC中，己知，，又△ABC的面积为6。（Ⅰ）求△ABC的三边长；（Ⅱ）若D为BC边上的一点，且CD=1，求．-12-\n19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点，PC=．（Ⅰ）求证：PC⊥AD；（Ⅱ）求三棱锥M﹣PAB的体积．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点过为F，过F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过F，且圆C与直线x=相交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，证明．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.（1）求直线和曲线的普通方程；-12-\n（2）设直线和曲线交于两点，求.23.选修4-5：不等式选讲已知函数（）（1）当时，解不等式；（2）令，若在上恒成立，求实数的取值范围.高三数学（文科）参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112选项BABDDAABADCA二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.214.15.16.[﹣，）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．(本小题满分12分)设数列的前项和为,且，（Ⅰ）证明:数列是等比数列；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和为．解：（Ⅰ）证明：因为，则……………1分所以当时，，………………………3分整理得．………………………4分由，令，得，解得．………………………5分所以是首项为3，公比为2的等比数列．………………………6分（Ⅱ）解：因为，………………………7分-12-\n由，得．所以………………………9分………………………11分所以．………………………12分18．（本小题满分12分）在△ABC中，己知，，又△ABC的面积为6。（Ⅰ）求△ABC的三边长；（Ⅱ）若D为BC边上的一点，且CD=1，求．解：（Ⅰ）设三边分别为由正弦定理得，∴sin（A+C）=sinCcosA，…………2分化为sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA，∴sinAcosC=0，可得…………………………………4分又两式相除可得令则三边长分别为3，4，5，……………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知tan∠BAC=，由三角函数定义知tan∠DAC=，……9分-12-\n所以tan=tan（∠BAC-∠DAC）===……12分19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点，PC=．（Ⅰ）求证：PC⊥AD；（Ⅱ）求三棱锥M﹣PAB的体积．证明：（Ⅰ）证法一：连结AC，由已知得△PAD，△ACD均为正三角形，PA=AC，PD=CD，∵M为PC的中点，∴PC⊥AM，PC⊥DM，又AM，DM⊂平面AMD，AM∩DM=M，∴PC⊥平面AMD，又AD⊂平面AMD，∴PC⊥AD．证法二：取AD的中点O，连结OP，OC，AC，由已知得△PAD，△ACD均为正三角形，∴OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC，OP⊂平面POC，∴AD⊥平面POC，又OP⊂平面POC，∴PC⊥AD．解：（Ⅱ）∵，PO=OC=，PC=，∴PO2+OC2=PC2，∴PO⊥OC，又OP⊥AD，OC∩AD=O，OC，AD⊂平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，又=，-12-\n∴三棱锥M﹣PAB的体积==．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点过为F，过F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过F，且圆C与直线x=相交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．解：（Ⅰ）由题意，直线l的方程为y=x﹣，联立，消去y整理得，设直线l与抛物线E的交点的横坐标为x1，x2，则x1+x2=3p，故直线l被抛物线E截得的线段长为x1+x2+p=4p=8，得p=2，∴抛物线E的方程为y2=4x；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F（1，0），设C（x0，y0），则圆C的方程是，-12-\n令x=﹣，则，又，△==＞0恒成立，设A（），B（，y4），则y3+y4=2y0，，∴|FA|•|FB|====，∵x0≥0，∴|FA|•|FB|∈[3，+∞）． 21.（本小题满分12分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，证明．解之得，即点的坐标为或．21.解：（1），且，所以切线方程，即．（2）由，．，所以在为增函数，又因为，，所以存在唯一，使，即且当时，，为减函数，时，为增函数，-12-\n所以，，记，，，所以在上为减函数，所以，所以．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.（1）求直线和曲线的普通方程；（2）设直线和曲线交于两点，求.解：（Ⅰ）因为，所以由，得…………………………3分因为消去得所以直线和曲线的普通方程分别为和.…………4分（Ⅱ）点的直角坐标为，点在直线上，-12-\n设直线的参数方程：（为参数），对应的参数为.…………………………7分…………………………10分23.选修4-5：不等式选讲已知函数（）（1）当时，解不等式；（2）令，若在上恒成立，求实数的取值范围.解：（Ⅰ）依题意得当时，原不等式化为：，解得当时，原不等式化为：，解得当时，原不等式化为：，解得综上可得，不等式的解集为…………………4分（Ⅱ）；-12-\n；；所以的最小值为；则，所以解得或……………10分-12-
