福建师大附中2022-2022学年第二学期半期考试卷高二数学选修2-2(理科)（满分：150分，时间：120分钟）说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知复数z的共轭复数＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点.以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确3．用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程没有实根B.方程至多有一个实根C.方程至多有两个实根D.方程恰好有两个实根4．如果命题p(n)对n＝k(k∈N*)成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2也成立，则下列结论正确的是( )A．p(n)对所有正整数n都成立B．p(n)对所有正偶数n都成立C．p(n)对所有正奇数n都成立D．p(n)对所有自然数n都成立5．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种6．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．7．直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )A. B．2C.D.7\nyxO12-1yxO12-28．设是函数的导函数,的图象如右图所示,则的yxO12-2yxO12-2yxO12-2图象最有可能是下图中的（）ABCD9．若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )A．S1<S2<S3B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1D．S3<S2<S110．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )A．若|z1－z2|＝0，则＝B．若z1＝，则＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2·D．若|z1|＝|z2|，则z＝z11．设函数的定义域为R,是的极大值点,以下结论一定正确的是（ ）A．B．是的极小值点C．是的极小值点D．是的极小值点12．定义在上的可导函数满足，且.现给出关于函数的下列结论：①函数在上单调递增②函数的最小值为；③函数有且只有一个零点④对于任意，都有其中正确结论的个数是A．1B．2C．3D．4二、填空题：（每小题5分，共30分）13．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝________.14．函数的单调递减区间为.7\n15．若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______.16．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为________．17．现有4种不同的颜色要对如图所示的5个区域进行着色，要求相邻区域不使用同一种颜色，则有________种不同的着色方法．18．如图，在平面直角坐标系xoy中，将直线与直线x＝1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积据此类比：将曲线y＝x2与直线y＝4所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V＝.第18题图三、解答题：（本大题共4题，共60分）19．(本小题满分15分)3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：（用数字作答）(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，3名男生必须相邻且4名女生也必须相邻；(4)全体站成一排，3名男生互不相邻；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．20．(本小题满分15分)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．21.(本小题满分15分)设函数.（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；7\n（2）讨论函数零点的个数．22．(本小题满分15分)设函数.（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，若函数在上是增函数，求的取值范围；（Ⅲ）若，不等式对任意恒成立，求整数的最大值．7\n福建师大附中2022-2022学年第二学期半期考试卷（选修2-2）参考答案一、DAABDCCCBDDD二、13.14.(0,1]15.16.17.7218.三．19.(本小题满分15分)解：(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A＝2520种排法．(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A＝5040种排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须相邻，是男生的全排列，有A种排法；女生必须相邻，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝A·A·A＝288种．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A种排法，故N＝A·A＝1440种．(5)先安排甲，从除去排头和排尾的5个位中安排甲，有A＝5种排法；再安排其他人，有A＝720种排法．所以共有A·A＝3600种排法．20.（15分）解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝.当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝.由此猜想an＝(n∈N*)．(2)证明：①当n＝1时，a1＝1，结论成立．②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即ak＝，那么n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak，7\n∴ak＋1＝＝＝，这表明n＝k＋1时，结论成立，由①②知猜想an＝成立．21.(本小题满分15分)22．(本小题满分15分)解：（Ⅰ）当时，所以即切点为因为所以所以切线方程为即（Ⅱ）y=f(x)在[－1，1]上单调递增，又方法一：（求函数的最值，即二次函数的动轴定区间最值）依题意在[－1，1]上恒有≥0，即①当；所以舍去；②当；所以舍去；③当综上所述，参数a的取值范围是。方法二：（分离参数法）7\n（Ⅲ）由于，所以所以函数在上递增所以不等式对恒成立构造构造对，所以在递增所以,所以,所以在递减,所以在递增所以,结合得到所以对恒成立，所以，整数的最大值为3.7
