2022年宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学（理科）试卷本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据，，，的标准差其中为样本平均数柱体体积公式其中为底面面积，为高锥体体积公式其中为底面面积，为高球的表面积、体积公式，其中为球的半径第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则满足且的实数所组成的集合为A．B．C．D．2．命题“若，则”的逆否命题是A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生19625女生91625-15-合计282250根据表中的数据及随机变量的公式，算得．临界值表：P(χ2≥k)0.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828根据临界值表，你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是A．97.5%B．99%C．99.5％D．99.9%开始结束否是输出4．某公司将4名新招聘的员工分配至3个不同的部门，每个部门至少分配一名员工．其中甲、乙两名员工必须在同一个部门的不同分配方法的总数为A．6B．12Ｃ．24D．365．运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对所对应的点都在函数A．的图象上B．的图象上C．的图象上D．的图象上6．若变量满足约束条件且的最大值和最小值分别为和，则等于A．8B．7C．6D．57．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A．B．C．D．8．已知函数，其中，则下列结论中正确的是A．的一条对称轴是B．在上单调递增C．是最小正周期为的奇函数-15-D．将函数的图象左移个单位得到函数的图象9．已知为坐标原点，向量，．若平面区域由所有满足（，）的点组成，则能够把区域的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线是A．B．C．D．10．斜率为的两条直线分别切函数的图象于，两点．若直线的方程为，则的值为A．8B．7C．6D．5第II卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．已知复数(是虚数单位)，则的模_______．12．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中乙种产品有30件，则样本容量n＝________．13．如图，直线与函数的图象交于点，，过作轴于．在中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为________．14．已知长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为，且成等差数列．若其对角线长为，则的最大值为________．15．如图，，，，均为等腰直角三角形，其直角顶点，，，在曲线上，与坐标原点重合，在轴正半轴上．设的纵坐标为，则________．-15-三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(本小题满分13分)分组频数频率(80，90]30.03(90，100]70.07(100，110]0.10(110，120]20(120，130]350.35(130，140]200.20(140，150]50.05合计1.00某渔池年初放养一批鱼苗，为了解这批鱼苗的生长、健康状况，一个月后，从该渔池中随机捞出条鱼称其重量（单位:克），并将所得数据进行分组，得到如右频率分布表．（Ⅰ）求频率分布表中的，，的值；（Ⅱ）从捞出的重量不超过克的鱼中，随机抽取条作病理检测，记这条鱼中，重量不超过克的鱼的条数为，求的分布列和数学期望．17．(本小题满分13分)已知数列满足：，且．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和．18．(本小题满分13分)如图（1）所示，直角梯形中，，，，．过作于，是线段上的一个动点．将沿向上折起，使平面平面．连结，，（如图（2））．（Ⅰ）取线段的中点，问：是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；不存在，说明理由；ABECDADCBEPQP•（Ⅱ）当时，求平面和平面所成的锐二面角的余弦值．-15-图（2）图（1）19．（本小题满分13分）ABCDl某供货商拟从码头发货至其对岸的两个商场，处，通常货物先由处船运至之间的中转站，再利用车辆转运．如图，码头与两商场，的距离相等，两商场间的距离为千米，且．若一批货物从码头至处的运费为100元/千米，这批货到后需分别发车2辆、4辆转运至、处，每辆汽车运费为25元/千米．设该批货总运费为元．（Ⅰ）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围；（Ⅱ）当为何值时，总运费最小？并求出的最小值．20．(本小题满分14分)已知函数．（Ⅰ）若，求函数的极值；（Ⅱ）若在有唯一的零点，求的取值范围；（Ⅲ）若，设，求证：在内有唯一的零点，且对（Ⅱ）中的，满足．21．(本小题满分14分)本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）选修4-2:矩阵与变换（本小题满分7分）已知二阶矩阵A有特征值，，其对应的一个特征向量分别为，．（Ⅰ）求矩阵A；（Ⅱ）求圆在矩阵A所对应的线性变换作用下得到曲线的方程．-15-（2）选修4-4参数方程与极坐标（本小题满分7分）已知倾斜角为，过点的直线与曲线C：是参数相交于，两点．（Ⅰ）写出直线的参数方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求的值．（3）选修4-5：不等式选讲（本小题满分7分）在空间直角坐标系中，坐标原点为，点坐标为．（Ⅰ）若点在轴上，且坐标满足，求点到原点的距离的最小值；（Ⅱ）若点到坐标原点的距离为，求的最大值．2022年宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学（理科）试题参考答案及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分.1.D2.B3.C4.A5.D6.C7.A8.B9.C10.B二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分.11.12.13.14.15.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.-15-16.本小题主要考察概率统计的基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，满分13分．解：（Ⅰ）依题意，，………………………………………1分∴．………………………………………………2分∴，…………………………………………3分．……………………………………………4分（Ⅱ）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，…………5分，，，，…………9分（说明：以上4个式子，每个1分）故的分布列为0123P…………11分所以的数学期望…………12分．.…………………………………13分17.本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分.解法一：（Ⅰ）令，………………………………………………1分则…………………………………………2分………………………………3分………………………………………4分∴数列为公差为的等差数列.即数列是公差为的等差数列.……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列为公差为的等差数列，，-15-∴……………………………………………6分∴．…………………………………………………………7分∴，……………①…………………8分∴，……………②……………………9分①-②得，……………………10分∴……………………………………12分．………………………………………13分解法二：（Ⅰ）∵，∴，……………………………………3分∴，…………………………………4分∴数列是公差为的等差数列.……………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：数列是公差为的等差数列，∴，∴．……………………7分以下同法一18.本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分13分.解：（Ⅰ）存在．当为的中点时，满足平面．………1分取的中点，连结，．ADCBEPMQ由为的中点，得，且，……2分-15-又，且，所以，，所以四边形为平行四边形，……………………3分故．……………………………………………4分又平面，平面，所以平面．………………………………5分QxyzADCBEP从而存在点，使得平面，此时．………………6分（Ⅱ）由平面平面，交线为，且，所以平面，又，………………………………7分以E为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），则，，，，．…………………………………………………………8分，．…………………………………9分平面的一个法向量为，……………………10分设平面的法向量为，由得………………………………………11分取，得，……………………………………………12分所以，即面和平面所成的锐二面角的余弦值为．……………13分19.本题主要考查三角函数的恒等变换、解三角形、函数与导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力和运算求解能力，考查应用意识，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想．满分13分.-15-解法一：（Ⅰ）依题意，在中，，∴．………………………………………………………1分又∵在中，,，由，得………………………………2分由，得，…………3分∴．…………………………………4分∴………………………5分………………………6分其中的取值范围是．…………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ），…………………………8分令，∴，……………9分由得：，又∵，∴．…………………………………………………………10分当时，，-15-当时，，…………………………………11分∴．…………………………………12分∴（元），∴当时，运输费用S的最小值为元．……………13分20.本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力，满分14分．解法一：（Ⅰ）当时，，，．…………………1分由，令，得．当变化时，，的变化如下表：0极小值故函数在单调递减，在单调递增，…………………3分有极小值，无极大值．………………………………4分（Ⅱ），令，得，设．则在有唯一的零点等价于在有唯一的零点当时，方程的解为，满足题意；…………………………5分当时，由函数图象的对称轴，函数在上单调递增，且，，所以满足题意；……………………6分-15-当，时，，此时方程的解为，不符合题意；当，时，由，只需，得．……………7分综上，．…………………8分（说明：未讨论扣1分）（Ⅲ）设，则，，…………………9分，由，故由（Ⅱ）可知，方程在内有唯一的解，且当时，，单调递减；时，，单调递增．…………………11分又，所以．…………………12分取，则，从而当时，必存在唯一的零点，且，即，得，且，从而函数在内有唯一的零点，满足．……14分解法二：（Ⅰ）同解法一；………………4分（Ⅱ），令，由，得．………5分-15-设，则，，………6分问题转化为直线与函数的图象在恰有一个交点问题．又当时，单调递增，………7分故直线与函数的图象恰有一个交点，当且仅当．……8分（Ⅲ）同解法一．（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用时，进行证明，扣1分）21.（1）本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）设矩阵,依题意，得…………………1分∴………………………………2分解得…………………………3分∴.…………………4分（Ⅱ）设圆C上任意一点在矩阵对应的变换作用下的像是,∴…………………5分解得…………………6分又∵,-15-∴,∴曲线C′的方程为.…………………7分（2）本题主要考查直线和圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想和化归与转化思想，满分7分．（Ⅰ）依题意，得直线的参数方程为（为参数）………1分即（为参数）…①…………………………………………2分∵曲线C的参数方程为∴曲线C的普通方程为.………②………………4分（Ⅱ）把①代入②得，∴，………………5分∴，，…………………6分∴.………………………………7分（3）本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，满分7分解：（Ⅰ）由点在轴上，所以，又坐标满足，所以，………………2分解得，…………………………………………………3分所以点到原点的距离的最小值为1..…………………4分（Ⅱ）由点到坐标原点的距离为，故，…………………………………………5分-15-由柯西不等式，得，………6分即，所以的最大值为6，当且仅当时取最大.…………7分-15-
