三明一中2022～2022上学期高二年段月考2（理科特保班）数学试卷（总分150分，时间：120分钟）（注意：请将所有题目的解答都写到“答题卷”上）一、选择题(本题12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。)1．下列各组向量中不平行的是（）A．B．C．D．2．若，则（）A．B．C．D．3．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，则（）A．+－B．－+－C．－++D．－+4．函数在区间上最大值与最小值分别是（）A.5,-4B.5,-15C.-4,-15D.5,-165．若向量，且与的夹角余弦为，则等于（）A．B．C．或D．或yxOyxOyxOyxOA.B.C.D.6．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()-8-\n7．已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（）A．B．C．D．8.已知函数的导函数为，且满足，则（）A．B．C．D．9．若A，B，C，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．不等边锐角三角形D．等边三角形10.设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a＜－1B．a＞－1C．a＞－D．a＜－11．已知，，，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A．B．C．D．12．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）³0，则必有（）A．f（0）＋f（2）<2f（1）B.f（0）＋f（2）£2f（1）C．f（0）＋f（2）³2f（1）D.f（0）＋f（2）>2f（1）二、填空题(本题4小题，每小题5分,共20分)13．已知向量，若，则______；若则______．-8-\n14.曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是．15．若，且，则与的夹角大小为_______．16.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是．三、解答题（共6题，70分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本题满分10分)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？18.（本题满分12分)如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点。（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求BE和平面所成角的正弦值。19.(本题满分12分)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（1）求证：AB1⊥面A1BD；（2）求二面角A－A1D－B的余弦值；（3）求点C到平面A1BD的距离。20.(本题满分12分)-8-\n已知函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（Ⅱ）若对于都有成立，试求的取值范围；21.(本题满分12分)ADBCDDD如图，在直三棱柱中，（1）求证（2）在上是否存在点使得（3）在上是否存在点使得？22.(本题满分12分)设曲线：，表示的导函数。（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）求函数的极值；（Ⅲ）当时，对于曲线上的不同两点，是否存在唯一，使直线的斜率等于？并证明你的结论。草稿纸-8-\n三明一中2022—2022上学期高二年段月考2（理科特保班）数学参考答案一、选择题(共12小题，每题5分，共60分)题号123456789101112答案DABBCDABCADC二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.；14.；15.；16..三、解答题（6题，共70分）17.（10分）解:设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.故长方体的体积为从而令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13=3(m3)，此时长方体的长为2m，高为1.5m.答：当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3。18.（12分）解：（1）以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.则有、、、<>所以异面直线与所成角的余弦为.（2）设平面的法向量为则由由，-8-\n则，故BE和平面的所成的角正弦值为19.（12分）解：（1）取中点，连结．为正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，xzABCDOFy取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．，，O1，．平面．（2）设平面的法向量为．，．，，令得由（1）知平面，为平面的法向量．二面角的余弦值为．（3）由（2），为平面法向量，．点到平面的距离．20.（12分）解:(I)直线的斜率为1.函数的定义域为，∵，∴，∴.∴..由解得；由解得.∴的单调增区间是,单调减区间是.(II)，由解得；由解得.-8-\n∴在区间上单调递增，在区间上单调递减.∴当时，函数取得最小值，.∵对于都有成立，∴即可.则.由解得.∴的取值范围是.21.（12分）解：直三棱柱，两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴轴，轴，建立空间直角坐标系，则，（1），，（2）假设在上存在点，使得，则，其中，于是,则，由于，且所以得，所以在上存在点使得，这时点与点重合。（3）假设在上存在点使得，则其中则，又由于，，所以存在实数成立，所以，所以在上存在点使得，且是的中点。22.（12分）解：（Ⅰ）的定义域为，，令，得，当时，，所以递增；当时，，所以递减。所以，函数的单调增区间为，减区间为（Ⅱ）的定义域为，，令得当时，在上恒成立即在单调递减，故无极值-8-\n当时，由得，由得，在区间单调递增，在区间单调递减故时有极大值，无极小值（Ⅲ）存在唯一，使直线的斜率等于。证明如下：的斜率设函数，则。设函数，则，∴在上递减，∴，即，∵，∴，∴，∴，同理可证，∴在区间内有零点又∵，∴在区间内是增函数∴在区间内有唯一的零点，故存在唯一，使直线的斜率等于。-8-
