兰州一中2022-2022-1学期高三年级期中考试试题数学（文科）说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分,考试时间120分钟。答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=则（CRA）B=(B)A．B．C．D．2.已知函数,则是(A)最小正周期为的奇函数最小正周期为的偶函数最小正周期为的奇函数最小正周期为的偶函数3.下列说法中，正确的是（B）A.命题“若，则”的否命题是假命题B.设为两不同平面，直线，则“”是“”成立的充分不必要条件C.命题“存在”的否定是“对任意”D.已知，则“”是“”的充分不必要条件4.设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1),如果向量a＋2b与2a－b平行,则a与b的数量积等于( D )A．－B．－C.D.5.若，，，则(A)A．B．C．D．6.已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－，则m的值为( A )A．B.－C．－D.-9-\n7.函数是奇函数,且在（）内是增函数,,则不等式的解集为(D)A．B．C．D．8.为了得到函数y＝cos的图象，可将函数y＝sin2x的图象( C )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,且g(3)=0.则不等式的解集是(D)A．（－3,0)∪(3,+∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞,-3)∪(3,+∞)D．(－∞,－3)∪(0,3)10.如图所示，两个不共线向量,的夹角为，分别为与的中点，点在直线上，且，则的最小值为(B)11.设是定义在上的增函数，且对任意，都有恒成立，如果实数满足不等式，那么的取值范围是(A)（9，49）（13，49）（9，25）（3，7）12.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝()x－m，若对∀x1∈，∃x2∈，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是( A )A．[，＋∞)B．(－∞，]C．[，＋∞)D．(－∞，－]第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.-9-\n13.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ________.答案：14.若cos－sin＝，则sin＝________.答案：15.已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋b|＝，〈a，b〉＝，则|b|＝________.答案 216.设函数f(x)＝lnx－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________.答案：(－1，＋∞)三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题10分）已知＝(cos＋sin，－sin)，＝(cos－sin，2cos).(1)设f(x)＝，求f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)设有不相等的两个实数x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值.解：(1)由f(x)＝得f(x)＝(cos＋sin)·(cos－sin)＋(－sin)·2cos＝cos2－sin2－2sincos＝cosx－sinx＝cos(x＋)，所以f(x)的最小正周期T＝2π.又由2kπ≤x＋≤π＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.故f(x)的单调递减区间是(k∈Z).(2)由f(x)＝1得cos(x＋)＝1，故cos(x＋)＝.又x∈，于是有x＋∈，得x1＝0，x2＝－，-9-\n所以x1＋x2＝－.18.（本小题12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：组别PM2.5浓度（微克/立方米）频数（天）频率第一组(0,25]30.15第二组(25,50]120.6第三组(50,75]30.15第四组(75,100)20.1(Ⅰ)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．解：(Ⅰ)设PM2.5的24小时平均浓度在(50,75]内的三天记为，PM2.5的24小时平均浓度在(75,100)内的两天记为．所以5天任取2天的情况有：，，，，，，，，共10种．……………………4分其中符合条件的有：，，，，，共6种．…………6分所以所求的概率．……………………8分（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：（微克/立方米）．……………………………………………10分因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准-9-\n，故该居民区的环境需要改进．………………………………12分19.（本小题12分）EPDCBA如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱,是的中点.（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求三棱锥A-BDP的体积.证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O,连接OE∴是正方形∵O是AC中点.又E是PC中点，∵OE∥PA,∴……………………6分（Ⅱ）……………………12分20.（本小题12分）己知、、是椭圆：（）上的三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且，。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线(斜率存在时)与椭圆交于两点，，设为椭圆与轴负半轴的交点，且，求实数的取值范围．【解析】（Ⅰ）∵且过，则．∵，∴，即．……2分又∵，设椭圆的方程为，将C点坐标代入得，解得，．-9-\n∴椭圆的方程为．……5分（Ⅱ）由条件，当时，显然；………6分当时，设：，，消得由可得，……①………8分设，，中点，则，,∴．………10分由，∴，即。∴，化简得……②∴将①代入②得，。∴的范围是。综上．………1221.（本小题12分）已知函数，.（1）若，曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；（2）在（1）的条件下，求证：解：(1)时，所以由题（6分）（2）由（1）可得只需证-9-\n设，令，得。（8分）当时，，当时，，所以，所以，22．选考题（本小题10分）请从下列三道题当中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，请在答题卷上注明题号。22—1.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB.(1)若CG=1，CD=4，求的值.(2)求证：FG//AC;【解析】(Ⅰ)由题意可得：四点共圆，.∽..又，=4.………4分(Ⅱ)因为为切线，为割线，，又因为，所以．所以，又因为，所以∽，所以，又因为，所以，所以．………………………10分22—2．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程-9-\n在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位。且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为（I）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（1,2）,求的最小值．解：（Ⅰ）由得，化为直角坐标方程为，即.……………4分（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得.由，故可设是上述方程的两根，所以又直线过点，故结合t的几何意义得=所以的最小值为……………10分22—3．（本小题满分10分）选修4～5：不等式选讲设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：<；(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．【解析】(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝由－2<－2x－1<0，解得－<x<，则M＝.所以≤|a|＋|b|<×＋×＝.(2)由(1)得a2<，b2<.-9-\n因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)>0，所以|1－4ab|2>4|a－b|2，故|1－4ab|>2|a－b|.-9-
