2022年下学期高二年级理数段考试题时量：120分钟分值：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知，则p是q的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件2、命题；命题。则（）A、“或”为假B、“且”为真C、真假D、假真3、已知{}是等差数列，＝15，＝55，则过点P(3，)，Q(4，)的直线斜率为( )A、4 B、C、－4D、－4、已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )A、B、＋1C、＋1D、5、若x＞1，则有（ ）A、最小值1B、最大值1C、最小值﹣1D、最大值﹣16、下列说法错误的是( )A、命题：“已知f(x)是R上的增函数，若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”的逆否命题为真命题B、“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件C、若p且q为假命题，则p、q均为假命题D、命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，则：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”7、已知两个等差数列{}和{}的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的个数是( )A、2B、3C、4D、5-14-\n8、抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则最小值是A、B、C、D、9、如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )A、椭圆 B、双曲线C、抛物线 D、圆10、已知等比数列满足，且，则当时，（）A、B、C、D、11、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B(如图所示)，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )A、y2＝9x B、y2＝6xC、y2＝3x D、y2＝x12、已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是( )A、(4，＋∞)B、(－∞，4]C、(10，＋∞)D、(－∞，10]二、填空题（每小题5分，共20分）13、命题“”的否定是_____________________________.14、已知等差数列的前项和为，若，则的最大值为_____.15、从双曲线上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，则线段QN的中点P的轨迹方程为____________．16、过抛物线的焦点的直线x－my＋m＝0与抛物线交于A、B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为2，则________.-14-\n三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题12分）命题p：实数x满足，其中a＜0，命题q：实数x满足或，且的必要不充分条件，求a的取值范围.18、（本小题12分）已知函数.(1)若对于恒成立，求实数的取值范围；(2)若对于恒成立，求实数的取值范围．19（本小题12分）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车，某天需送往A地至少72t的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，求公司最大利润。-14-\n20（本小题12分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．21（本小题12分）已知各项均为正数的数列满足，，.（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）当取何值时，取最大值，并求出最大值；（Ⅲ）若对任意恒成立，求实数的取值范围.22（本小题10分）设是公比为正数的等比数列，，(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和-14-\n2022年下学期高二年级理数段考答案时量：120分钟分值：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知，则p是q的（A）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件2、命题；命题。则（D）A、“或”为假B、“且”为真C、真假D、假真3、已知{}是等差数列，＝15，＝55，则过点P(3，)，Q(4，)的直线斜率为( A )A、4 B、C、－4D、－4、已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )A、B、＋1C、＋1D、[答案] C[解析] 由AF⊥x轴知点A坐标为，代入双曲线方程中得，－＝1，∵双曲线与抛物线焦点相同，∴c＝，即p＝2c，又b2＝c2－a2，∴－＝1，由e＝代入整数得，e4－6e2＋1＝0，∵e>1，∴e2＝3＋2，∴e＝＋1.5、若x＞1，则有（ ）A、最小值1B、最大值1C、最小值﹣1D、最大值﹣1解：若x＞1，则==+≥2=1，当且仅当=时，取等号．-14-\n故有最小值为1，故选A．6、下列说法错误的是( )A、命题：“已知f(x)是R上的增函数，若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”的逆否命题为真命题B、“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件C、若p且q为假命题，则p、q均为假命题D、命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，则：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”解析：A中∵a＋b≥0，∴a≥－b.又函数f(x)是R上的增函数，∴f(a)≥f(－b)，①同理可得，f(b)≥f(－a)，②由①＋②，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，即原命题为真命题.又原命题与其逆否命题是等价命题，∴逆否命题为真.若p且q为假命题，则p、q中至少有一个是假命题，所以C错误.答案：C7、已知两个等差数列{}和{}的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的个数是( )A、2B、3C、4D、5解析：由等差数列的前n项和及等差中项，可得＝＝＝＝＝＝＝7＋(n∈N*)，故n＝1,2,3,5,11时，为整数．答案：D8、抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则最小值是-14-\nA、B、C、D、因为抛物线的焦点,准线方程为.过P作准线的垂线交准线于E,则，所以，即，所以当为抛物线的切线时，最大.不妨设P在第一象限，设过A的直线斜率为，则直线的方程为，代入，整理得，由解得，所以，此时，所以点.所以，即则的最小值是.选B9、如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )A、椭圆 B、双曲线C、抛物线 D、圆解析：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)，又显然|MO|>|FO|，∴点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．答案：A10、已知等比数列满足，且，则当时，（C）A、B、C、D、11、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B(如图所示)，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )-14-\nA、y2＝9x B、y2＝6xC、y2＝3x D、y2＝x解析：点F到抛物线准线的距离为p，又由|BC|＝2|BF|得点B到准线的距离为|BF|，则＝，∴l与准线夹角为30°，则直线l的倾斜角为60°.由|AF|＝3，如图连结AH⊥HC，EF⊥AH，则AE＝3－p，则cos60°＝，故p＝.∴抛物线方程为y2＝3x.答案：C12、已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是( )A、(4，＋∞)B、(－∞，4]C、(10，＋∞)D、(－∞，10][解析] 过点A(0，－2)作曲线C：y＝2x2的切线，设方程为y＝kx－2，代入y＝2x2得，2x2－kx＋2＝0，令Δ＝k2－16＝0得k＝±4，当k＝4时，切线为l，∵B点在直线x＝3上运动，直线y＝4x－2与x＝3的交点为M(3,10)，当点B(3，a)满足a≤10时，视线不被曲线C挡住，故选D.二、填空题（每小题5分，共20分）13、命题“”的否定是______14、已知等差数列的前项和为，若，则的最大值为_4____.-14-\n15、从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，则线段QN的中点P的轨迹方程为____________．解析：设P(x，y)，Q(x1，y1)，则N(2x－x1,2y－y1)，∵N在直线x＋y＝2上，∴2x－x1＋2y－y1＝2①又∵PQ垂直于直线x＋y＝2，∴＝1，即x－y＋y1－x1＝0.②由①②得又∵Q在双曲线x2－y2＝1上，∴－＝1.∴(x＋y－1)2－(x＋y－1)2＝1.整理，得2x2－2y2－2x＋2y－1＝0即为中点P的轨迹方程．答案：2x2－2y2－2x＋2y－1＝016、过抛物线的焦点的直线x－my＋m＝0与抛物线交于A、B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为2，则________.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x得y2－2mpy＋2pm＝0，∴y1＋y2＝2pm，y1y2＝2pm，(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝4p2m2－8pm.又焦点在x－my＋m＝0上，∴p＝－2m，∴|y1－y2|＝4，∴S△OAB＝×|y1－y2|＝2，－m＝，平方得m6＋m4＝2.答案：2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题12分）命题p：实数x满足，其中a＜0，命题q：实数x满足或，且的必要不充分条件，求a的取值范围.解：设A＝{x|x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)}＝{x|3a＜x＜a}，2分B＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＜0}-14-\n＝{x|x2－x－6＜0}∪{x|x2＋2x－8＞0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}＝{x|x＜－4或x≥－2}.4分因为的必要不充分条件，所以q⇒p，且p推不出q而＝{x|－4≤x＜－2}，＝{x|x≤3a，或x≥a}所以{x|－4≤x＜－2}{x|x≤3a或x≥a}，8分或10分即－≤a＜0或a≤－4.12分18、（本小题12分）已知函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．解析 (1)由题意可得m＝0或⇔m＝0或－4＜m＜0⇔－4＜m≤0.故m的取值范围为(－4,0]．6分(2)∵f(x)＜－m＋5⇔m(x2－x＋1)＜6，∵x2－x＋1＞0，∴m＜对于x∈[1,3]恒成立，记g(x)＝，x∈[1,3]，记h(x)＝x2－x＋1，h(x)在x∈[1,3]上为增函数．则g(x)在[1,3]上为减函数，∴[g(x)]min＝g(3)＝，10分∴m＜.12分19（本小题12分）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车，某天需送往A地至少72t的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，求公司最大利润。-14-\n[解析] 设该公司派甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意得5分利润z＝450x＋350y，可行域如图所示．解得A(7,5)．10分当直线350y＋450x＝z过A(7,5)时z取最大值，∴zmax＝450×7＋350×5＝4900(元)．12分20（本小题12分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意∴b＝1，∴所求椭圆方程为＋y2＝1.4分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．①当AB⊥x轴时，|AB|＝.6分②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.由已知＝，得m2＝(k2＋1)．把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.8分∴|AB|2＝(1＋k2)-14-\n＝＝＝3＋＝3＋(k≠0)≤3＋＝4.当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立．当k＝0时，|AB|＝.综上所述，|AB|max＝2.10分∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值：Smax＝×|AB|max×＝.12分21（本小题12分）已知各项均为正数的数列满足，，.（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）当取何值时，取最大值，并求出最大值；（Ⅲ）若对任意恒成立，求实数的取值范围.解：（I）∵，，，∴．即．又，所以．∵，∴是以为首项，公比为的等比数列．3分（II）由（I）可知（）．-14-\n∴．．当n=7时，，；当n<7时，，；当n>7时，，．∴当n=7或n=8时，取最大值，最大值为．7分（III）由，得（*）依题意（*）式对任意恒成立，当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意．8分②当t<0时，由，可知（）．而当m是偶数时，因此t<0不合题意．9分③当t>0时，由（）,∴∴．（）设（）∵=,∴．-14-\n∴的最大值为．所以实数的取值范围是12分22（本小题10分）设是公比为正数的等比数列，，(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和解析 (1)设q为等比数列{an}的公比，则由得，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{an}的通项为5分(2)10分-14-
