东阳中学2022年下学期期中考试卷（高二数学）一、选择题（每题4分，共40分）1．方程所表示的直线恒过点A．B．C．D．2．已知椭圆的长轴长与短轴长之比是5：3，焦距为8，焦点在x轴上，则此椭圆的方程是A．B．C．D．3．以下命题中正确的是A．若，则中至少有一个大于0B．若，则C．若，则D．若，则4．下列说法不正确的是A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面5．已知直线平面、直线平面，有下列四个命题：①；②；③；④。其中正确的两个命题是A．①与②B．③与④C．②与④D．①与③6．若是实数，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件7．在六角螺母（正六棱柱形）中，当它的某两条棱所在的直线是异面直线时，这对异面直线所成角的度数是A．B．C．D．或8.已知椭圆：，双曲线：，若以的长轴为直径的圆与的一条渐近线交于A、B两点，且与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则的离心率是-8-\nA．B．3C．D．59．已知直线和x轴、y轴围成的四边形有外接圆，则实数k等于（）A．B．3C．D．610.正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高也为2，E为BC的中点，动点P在四棱锥的表面上运动，并且总有，则动点P的轨迹的周长为A．B．C．D．二、填空题（双空题每空3分，单空题每空4分，共36分）11.若方程表示圆，则实数的取值范围是____，它的圆心坐标是_____.12.已知椭圆的两焦点为，上顶点为B，则它的离心率是_____，的外接圆方程是______________.13.长方体中，，则对角线与底面所成角是_______；点D到平面的距离是______.14．设是双曲线的焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积是_____，周长为_______.15.圆锥的底面半径为，母线长为，M是底面圆周上一点，从M拉一根绳子，环绕圆锥的侧面再回到M，最短绳子长为_______.16.已知半径分别为1和2的两球紧贴放在水平桌面上，则两球在桌面上的俯视图的公共弦长为______.17.已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是_________.三、解答题（18-20题每题14分，21、22题每题16分，共74分）-8-\n18.已知直线：，（1）若直线的倾斜角是倾斜角的两倍,且与的交点在直线上，求直线的方程；(2)若直线与直线平行,且与的距离为，求直线的方程.19.某几何体三视图如图所示，正视图和侧视图均为底边6，高为4的等腰三角形，俯视图是等腰直角三角形,直角边长6，（1）求此几何体的体积；（2）求此几何体外接球的表面积.666620.在平面直角坐标系中，O为原点，点，动点满足，（1）求点的轨迹方程；（2）设圆的半径为，圆心在直线上，若圆与点-8-\n的轨迹有公共点，求圆心横坐标的取值范围。21.如图是一个边长为的正三角形和半圆组成的图形，现把沿直线AB折起使得与圆所在平面垂直，已知点C是半圆的一个三等分点（靠左边一点），点E是线段PB上的点，（1）当点E是PB的中点时，在圆弧上找一点Q，使得平面；（2）当二面角的正切值为时，求BE的长。-8-\n22.在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的上、下顶点为A、B，点P在椭圆C上且异于A、B点，直线AP、BP与直线分别交于点M、N，（1）设直线AP、BP的斜率分别为、，求证：为定值；（2）求线段长的最小值；（3）当点P运动时，以为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论。东阳中学2022年下学期期中考试卷答案（高二数学）一、选择题（每题4分，共40分）DBACDADABC10.解：与AC垂直的直线在它的垂面上，故在过E的垂面上。因此是此平面与四棱锥的表面的交线，轨迹为一个三角形，周长为，故选C。-8-\n二、填空题（双空题每空3分，单空题每空4分，共36分）11.解：；12.解：；13.解：；14．解：1；15.解：6.16.解：17.解：三、解答题（18-20题每题14分，21、22题每题16分，共74分）18.解:(1)因为直线的斜率为，所以倾斜角为。又因为直线的倾斜角是倾斜角的两倍，故的倾斜角是。因为直线与直线的交点为，所以直线的方程是，即。(2)因为直线与直线平行，故可设直线的方程为。因为与的距离为，则有，解得或,所以直线的方程或.19.解：（1）由三视图可以判断，此几何体表示底面为直角三角形的一个棱锥，顶点在底面上射影是斜边的中点，且高为，故体积为。（2）三棱锥的外接球球心在高上，设球半径为R，在上，，即，解得，故外接球的表面积为。20.解：（1）设，由得，，化简得。（2）设圆的圆心坐标为，则圆的方程为。由条件得两圆有公共点，则，即，解得-8-\n21.解：（1）取圆弧CB的中点Q，AB的中点O，易证OQ//AC，OE//PA，得平面EOQ平面PAC，所以平面。（2）过C作AB的垂线交AB于G点，过G作直线AE的垂线交AE于H点，连CH，则即为二面角的平面角。因为，，在中可得。在中，可解得。另解：以O为原点，AB为y轴、OP为z轴建立坐标系得，设，可得，可求平面ACE的法向量为，平面APB的法向量为，所以，得，得，即22.解：（1）由题意得，设，所以直线AP的斜率为，BP的斜率为，所以（2）由题设得直线AP的方程为，直线BP的方程为，令，可得，于是。因为，所以，当且仅当-8-\n，即时，线段长的最小值是。（3）设点是以MN为直径的圆上任意一点，则有。又，所以化简得。令，解得，所以所过的定点为和-8-
