浙江省湖州市2022届高三数学上学期期末考试样卷试题理新人教A版一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知等差数列的前项和为，若，则（）A．B．C．D．2、“”是“函数为偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3、函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．4、已知，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则5、若圆与，轴都有公共点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6、已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7、已知实数，满足，若的最大值为，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8、已知、分别是双曲线（，）的左、右焦点，且是抛物线（）的焦点，双曲线与抛物线的一个公共点是．若线段的中垂线恰好经过焦点，则双曲线的离心率是（）13第页共13页\nA．B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题4分，共36分．）9、已知全集为，集合，，则；；．10、若函数，则；．11、若函数，则的最小正周期为；．12、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为；表面积为．13、在中，，，，是边上的动点（含，两个端点）．若（，），则的取值范围是．14、已知棱长为的正四面体可以在一个单位正方体（棱长为）内任意地转动．设，分别是正四面体与正方体的任意一顶点，当达到最大值时，，两点间距离的最小值是．15、设，集合，，若（为实数集），则实数的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分15分）在中，角，，的对边分别为，，，且．已知向量，，且．若，求边的值；求边上高的最大值．13第页共13页\n17、（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，，平面，，，．求证：平面平面；若点在棱上的射影为点，求二面角的余弦值．18、（本小题满分15分）已知二次函数（，）．若，且不等式对恒成立，求函数的解析式；若，且函数在上有两个零点，求的取值范围．19、（本小题满分15分）已知椭圆（）的右焦点为，上顶点为．过点作直线与椭圆交于另一点，若，求外接圆的方程；若过点作直线与椭圆相交于两点，，设为椭圆上动点，且满足（为坐标原点）．当时，求面积的取值范围．13第页共13页\n20、（本小题满分14分）已知数列的前项和记为，且满足．求数列的通项公式；设，记，求证：．13第页共13页\n湖州市2022-2022学年度第一学期期末考试高三数学卷（理）参考答案一、选择题（本大题共有8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案CADCDBCA二、填空题(本大题共7小题，9——12每题6分，13——15题每题4分，共36分.)9.；；10.；11.；12.；13.14.15.三、解答题(本大题共5小题，共74.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16．解：(Ⅰ)方法一：由，得，--------------------------------2分即,得，-----------------------------------------------4分又，所以，故，即.--------------6分结合，得由正弦定理得,．----------------------------------------------------8分方法二:由，得，----------------------------------------------2分则，又，故，即13第页共13页\n，--------------------------------------------------------------------------------------4分又，所以，故，即.--------------------------------6分结合，得.由正弦定理得，．-------------------------------------------------------8分(Ⅱ)设边上的高为，则，----------10分即，，-----------------14（等号成立当且仅当）所以，因此，所以边上的高的最大值为．-----------------------------------------------15分17．（Ⅰ）证明：因为平面，所以，…………………………2分又因为，所以平面，………………………4分所以平面平面.…………………………5分（Ⅱ）解法1：先考查二面角和二面角，因为面，所以，又因为，所以面，所以，，所以即二面角的一个平面角，……………………7分13第页共13页\n因为，……………………9分，……………………11分所以，所以……………………12分……………………13分，……………………14分所以，所以二面角的余弦值为．……………………15分解法2：因为面，所以，又因为，所以面，所以，，所以即为二面角的一个平面角.…………………8分因为，所以，，…………………………10分所以，，…………………12分又因为直角梯形可得，…………………………13分13第页共13页\n所以，…………………………………14分所以，所以二面角的余弦值为．……………………………15分解法3：如图所示，以为轴，以为轴，过作轴，建立空间直角坐标系，则可知，，，，，……8分则，.设平面的一个法向量是，可得：即．……………………………………………10分同理可得的一个法向量是，……………………………………12分13第页共13页\n所以二面角的余弦值为．………………………15分18．解：(Ⅰ)因为，所以，---------------------------------------3分因为当，都有，所以有，--------------------------6分即，所以；--------------------------------------------7分(Ⅱ)解法1：因为在上有两个零点，且，所以有-------------------------11分（图正确，答案错误，扣2分）通过线性规划可得.---------------------------------------------15分（若答案为，则扣1分）解法2：设的两个零点分别，所以，--------9分不妨设，，--------------------------------------------------------------11分因为，且，，----------------13分所以，所以13第页共13页\n.-------------------------------------------------15分（若答案为，则扣1分）19．解：(Ⅰ)由右焦点为，上顶点为得，所以.-------------------------------------------------------------------------3分（每个1分）所以椭圆方程为，因为，可求得点，--------------------------------4分因为为直角三角形，中点坐标，且，所以外接圆方程为.--------------------6分(Ⅱ)设过点的直线方程为，--------------------------------------------7分两点的坐标分别为，，联立方程得，，因为，，-------------------------------------------------9分所以，------------11分因为，所以点，因为点在椭圆C上，13第页共13页\n所以有，化简得，因为，所以得，化简，-------13分因为，所以，因为，令，所以，令，因为在上单调递减，在上单调递增，所以.--------------------------------------------------------------------------------15分20．解：（Ⅰ）当时，，解得，---------------------------------------------1分当时，，，-----------------------------------------------------------------------2分两式相减得：，即，------------------------------------------------------------------------------------------5分所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，------------------6分13第页共13页\n（Ⅱ）证法1：当为偶数时，----------------------------7分，--------------------------------10分=；-----------11分当是奇数时，.综上可知.---------------------------------------------------------------------------------14分证法2：当时，，，,不等式显然成立-------8分当时,要证明，只要证明，只要证明.--------9分又因为当时，，即故而-----------------------------------------------12分13第页共13页\n----------------------------------------------------------------------13分.-------------------------------------------------------------------------------14分13第页共13页
