杭西高2022年10月高三数学（理科）试卷一、选择题：（每题5分，共40分，每小题给出的选项中只有一个是符合要求的）1．若不等式错误！未找到引用源。的解集为错误！未找到引用源。,则错误！未找到引用源。的值为(▲）A.B.C.D.2.设函数，若则（▲）A.B.C.D.3．下列结论正确的是(▲)A.若向量∥，则存在唯一的实数使B.已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“”C．若命题，则D．“若，则”的否命题为“若，则”4．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则的值为（▲）A．B．C．D．5．已知定义在上的函数()为偶函数．记，则的大小关系为（▲）A．B．C．D．6．若非零向量，满足，则（▲）-9-\nA．|2|>|2+|B．|2|<|2+|C．|2|>|+|D．|2|<|+|7.下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是(▲)8.设集合，定义函数，则对于集合，下列命题中不正确的是（▲）A.B.C.D.二、填空题（第9，10,11,12题每空格3分；第13,14,15题每题4分）9．函数的值域为 ▲ ，不等式的解集为 ▲ ． 10.已知函数的一个对称中心是，则 ▲ ；现将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的5倍（纵坐标不变），得到函数，再将函数的图象向左平移个单位，得到函数,若，则的值是▲．11.如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，若，求+=▲；若，，，且与的夹角为60°时，求的值▲.12.已知函数，()，若-9-\n，恒有成立，则a的取值范围是▲；若，，使得，则实数的取值范围是▲.13.＝▲ .14.已知函数的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，若=，则▲.15.在平面上,,,.若,则的取值范围是▲.三、解答题（14+15+15+15+15=74分，请写出必要的解题步骤）16．已知均为锐角，且，．（1）求的值；（2）求的值．17.（本小题满分15分）已知函数（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若方程在内恒有两个不相等的实数解，求实数的取值范围．18．（本小题满分15分）己知ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b,c，。(l)求cosA的值；(2)若a，b，c成等差数列，求sinC的值。19.（本小题满分15分）对于函数若存在，成立，则称为的不动点．-9-\n（1）若函数（a）当时，求函数的不动点；（b）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（2）若函数有两个不动点，，记函数的图像的对称轴为，求证，如果，那么.20.（本小题满分15分）设a为实数，设函数的最大值为g(a)。 （1）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；（2）求g(a);（3）试求满足的所有实数a.-9-\n杭西高2022年10月高三数学(理科)答卷一、选择题（每题5分，共40分，每小题给出的选项中只有一个是符合要求的）题号12345678答案DDDDBCDD二、填空题（第9，10,11,12题每空格3分；第13,14,15题每题4分）9.;10.;11.1;-912.;13.14.15.三、解答题（14+15+15+15+15=74分，请写出必要的解题步骤）16．(本小题满分14分)已知均为锐角，且，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）∵，从而．又∵，∴．……………3分∴．……………4分（2）由（1）可得，．∵为锐角，，∴．……………………2分∴…………3分==．…………………2分17．(本小题满分15分)已知函数（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若方程在内恒有两个不相等的实数解，求实数的取值范围．-9-\n解:(1)==…3分令，解得即，………………2分,f(x)的递增区间为，………………2分(2)依题意：由=，得，即函数与的图象在有两个交点，………………3分∴，当时，，当时，，………………4分故由正弦图像得：………………1分18.（本小题满分15分）己知ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b,c，。(l)求cosA的值；(2)若a，b，c成等差数列，求sinC的值。19．（本小题满分15分）对于函数若存在，成立，则称为-9-\n的不动点．（1）若函数（a）当时，求函数的不动点；（b）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（2）若函数有两个不动点，，记函数的图像的对称轴为，求证，如果，那么解∵f（x）=ax2+（b+1）x+b-1（a≠0），（a）当a=1，b=-2时，f（x）=x2-x-3．设x为其不动点，即x2-x-3=x．----------------------------2分则x2-2x-3=0．∴x1=-1，x2=3．即f（x）的不动点是-1，3．----------------2分（b）由f（x）=x得：ax2+bx+b-1=0．由已知，此方程有相异二实根，△x＞0恒成立，即b2-4a（b-1）＞0．-------------------------------------------2分即b2-4ab+4a＞0对任意b∈R恒成立．∴△b＜0．，----------------------------------------------------2分∴16a2-16a＜0，∴0＜a＜1．-----------------------------------------------------2分(2)函数有两个不动点，,即有两个根，，则令有两个零点，。满足，根据抛物线可得求画出可行域，得到目标函数的值域。证得20.（本小题满分15分）设a为实数，设函数的-9-\n最大值为g(a)。 （1）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)（2）求g(a)（3）试求满足的所有实数a（1）令要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,∴t≥0t的取值范围是-----------------------------------2分由①得∴m(t)=a()+t=----------------------2分（2）由题意知g(a)即为函数的最大值。注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论。（a）当a>0时，函数y=m(t),的图象是开口向上的抛物线的一段，由<0知m(t)在上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2-------------1分(b)当a=0时，m(t)=t,,∴g(a)=2.------------1分(c)当a<0时,函数y=m(t),的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即则若，即则若，即则---------1分-9-\n综上有--------------------------1分(3)情形1：当时，此时，由，与a<-2矛盾。———————————1分情形2：当时，此时，解得，与矛盾。——————————1分情形3：当时，此时所以——————————1分情形4：当时，，此时，矛盾。———————1分情形5：当时，，此时g(a)=a+2,由解得矛盾。——————————1分情形6：当a>0时，，此时g(a)=a+2,由，由a>0得a=1.——————————1分综上知，满足的所有实数a为或a=1—————1分-9-
