富阳二中2022届高三10月第二次质量检测数学（理科）问卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（▲）A．B．C．D．2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（▲）A．B．C．D．3．已知a,b∈R，下列四个条件中，使“a>b”成立的必要而不充分的条件是（▲）A．a>b-1B．a>b+1C．|a|>|b|D．2a>2b4.已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（▲）.A.B.C.D.5.等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥2)，则Tn的最大值为（▲）A．B．C．1D．26.能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”，下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（ ▲ ）A．B．-12-C．D．7.设,关于的不等式和无公共解，则的取值范围是（▲）A．B．C．D．8.抛物线的内接ABC的三条边所在直线与抛物线均相切，设A，B两点的纵坐标分别是，则C点的纵坐标为（▲）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。9.命题,，命题，其中真命题的是▲；命题的否定是▲；10.设函数，则＝▲，若，则▲；11.函数的最小正周期是▲，单调递减区间是▲；12.若，则▲；13.在正三棱柱中，若，是中点，则与所成角的大小是▲；14．若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是▲；15.已知数列前项的和为,(1)若,则=▲；(2)若，则=▲；(3)若，则▲。三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（15分）在中，内角，，的对边分别为，，，-12-已知．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若，且是锐角三角形，求实数的取值范围．17．（本题满分15分）如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，(Ⅰ)求证：AC⊥BD；(Ⅱ)若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C－AD－B的余弦值。18.（本小题满分14分）如图所示，椭圆与直线相切于点．（I）求满足的关系式，并用表示点的坐标；（II）设是椭圆的右焦点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求椭圆的标准方程．（第18题图）-12-19.（本小题满分15分）已知，设函数．(Ⅰ)若时，求函数的单调区间；(Ⅱ)若，对于任意的，不等式恒成立，求实数的最大值及此时的值．20．（本小题满分15分）已知椭圆（），其右顶点为，上、下顶点分别为，．直线的斜率为，过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点（，均在轴右侧）．求椭圆的方程；设四边形面积为，求的取值范围．-12--12-富阳二中2022届高三数学（理科）参考答案题号12345678答案CBADDBAB9.；；10.5；1或；11.，，(.)；12.；13.；14.；15.1177；；820。16.解(Ⅰ)由题意得……………………………………（4分）……………………………………（7分）(Ⅱ)……………………………（10分）为锐角三角形，且……………………………………（14分）．……………………………………（15分）17.（I）证明（方法一）：∵，，．∴．∴．………………………2分取的中点，连结，则，．………………………………………………………………3分又∵，……………………………………4分平面，平面，∴平面，……………………………………5分∴………………………………………………6分（方法二）：过作⊥于点．连接．…1分-12-∵，，．∴．∴⊥．…………………3分又∵，……………………………………4分平面，平面，∴⊥平面．……………………………………5分又∵平面，∴．……………………………………………6分（方法三）：………………2分………………………………3分………4分，……………………5分∴．……………………………………………6分（II）解（方法一）：过作⊥于点．则平面，又∵平面⊥平面，平面平面，∴⊥平面．……………………………………8分过做⊥于点，连接．………………9分∵⊥平面，∴⊥，又，∴⊥平面，∴⊥．…………………10分∴为二面角的平面角．…………11分连接．∵，∴⊥．∵，，∴，．∵，∴．………12分∴∴．…………………………13分∴，…………………………………………14分∴．∴二面角的余弦值为．………………………………15分（方法二）：由（I）过作⊥于点，连接-12-∵，∴⊥．∵平面⊥平面，∴⊥．…………………………7分分别以为轴建立空间直角坐标系．………………8分∵，，∴，．∵，∴．………………………………9分．…10分可得，．………11分设平面的法向量为，则，取，得一个．……………………………………………………12分取平面的法向量为．……………………………………13分．……………………………………14分∴二面角的余弦值为．…………………………………15分18.解：（I）联立方程组消元得：①…………………………………………2分相切得：②…4分将②代入①式得：解得…………………………………………………………………6分-12-（II）解法1：到直线的距离，是等腰直角三角形………………………11分由②可得：代入上式得：得即……………13分又椭圆的标准方程为：…………………………………14分解法2：直线的方程为………………………………8分由解得：………………11分解得…………………13分又椭圆的标准方程为：………………………………14分-12-解法3：由方法二得……………………………………………11分分别过做轴的垂线，垂足分别为是等腰直角三角形又，得………………………………13分又椭圆的标准方程为：…………14分19.（I）当时，，…………………………………………3分函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．……6分（II）①当时，，在单调递增，，由题意得，即，解得，令，在单调递减，所以，即当时，．…………………………9分②当时，，在单调递减，在单调递增，，-12-满足，，由题意得，即，解得，令，在单调递增，所以，即当时，．……………………………12分③当时，，在单调递减，在单调递增，，满足，，由题意得，即，解得，同②得在单调递增，所以，即当时，，综上所述，，此时．……………………………………………15分20.-12--12-
