浙江省余姚中学2022-2022学年高二数学上学期期中试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（ ）A．2倍B．2倍C.倍D.倍2．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.B.C.D.3.已知是不同的直线，是不同的平面，有下列命题：①若∥，则∥②若∥，∥，则∥③若∥，则∥且∥④若，则∥其中正确的个数是（）A．个B．个C．个D．个4.如图，四棱柱的底面（第4题）为平行四边形，已知，，，则用向量可表示向量为（）A． B．C． D．5.圆锥的母线长为2，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的表面积为（）A．B．C．D．6.若直线不平行于平面，则下列结论正确的是（）A．内所有的直线都与异面；B．直线与平面有公共点；C．内所有的直线都与相交；D．内不存在与平行的直线.7.如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（ ）A．点是的垂心B．垂直平面C．的延长线经过点D．直线和所成角为8\n8.已知一个高度不限的直三棱柱，，，，点是侧棱上一点，过作平面截三棱柱得截面给出下列结论：①是直角三角形；②是等边三角形；③四面体为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体。其中有不可能成立的结论的个数是（ ）（A）0（B）1（C）2（D）3二、填空题（本大题共7小题，第9~12题每题6分，第13~15题每题4分，共36分．）9.一圆柱的底面直径和高都是3，则它的体积为 侧面积为_____ 10.已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为.外接球半径为______11．已知向量若则实数______，_______。13.一只蚂蚁从棱长为1cm的正方体的表面上某一点P处出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离d=f(P),那么d的最大值是15．如图，在正三棱锥S—ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且AMMN，若侧棱长SA=，则正三棱锥S—ABC的外接球的体积为 .三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.已知正方体，是底对角线的交点.求证：（Ⅰ）C1O∥面；（Ⅱ）面．(14分)8\n（第17题）17.如图，已知四棱锥，底面四边形为菱形，，，分别是线段的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小．18．如图，三棱锥P－ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA＝90°,PB＝BC＝CA＝4，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF＝2FP.（Ⅰ）求证：BE⊥平面PAC；（Ⅱ）求证：CM∥平面BEF.8\n19.如图，已知四边形是边长为1的正方形,平面，平面．（第19题）FEDCBA（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，且二面角的大小为，求的长．期中数学答案8\n17.（Ⅰ）解：连接交于点，∵分别是线段的中点,（第18题）∴．……1分∵平面，平面∴平面．………………………………………3分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，就是异面直线与所成的角或其补角.……4分∵四边形为菱形，，，8\n∴在△中，，，∴，∴异面直线与所成的角为.18．证明：(1)∵PB⊥底面ABC，且AC⊂底面ABC，∴AC⊥PB，由∠BCA＝90°，可得AC⊥CB，又∵PB∩CB＝B，∴AC⊥平面PBC，∵BE⊂平面PBC，∴AC⊥BE，∵PB＝BC，E为PC中点，∴BE⊥PC，∵PC∩AC＝C，∴BE⊥平面PAC.(2)取AF的中点G，连接CG，GM，∵E为PC中点，FA＝2FP，∴EF∥CG.∵CG⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴CG∥平面BEF.同理可证：GM∥平面BEF.又CG∩GM＝G，∴平面CMG∥平面BEF.∵CM⊂平面CMG，∴CM∥平面BEF.（第20题）19.解：（Ⅰ）平面，平面．，四边形在同一平面内．平面，，又为正方形，，，面，……………3分（Ⅱ）解法一：以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系（如图）．设．则，，．∴．………4分设平面的一个法向量为，得到．由（Ⅰ）知平面的一个法向量是，∴．，即．ACEFOM解法二：设点为与的交点，过点作交于点，连接．，，8\n就是二面角的平面角．．…………5分，．……………6分在直角梯形，设，，解得，即．20.8\n8
