周口中英文学校2022---2022学年上期高二期中考试文科数学试题试题分值150分，考试时间：120分钟一．选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）1.在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )A．4B．4C．4D．42.已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )A．30°B．75°C．60°D．45°3.已知a，b，c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则C的大小为( )A．150°B．60°C．90°D．120°4.在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是( )A．不能确定B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形5.如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点之间的距离是( )A．20米B．20米C．20米D．40米6.已知数列an<0，且2an＋1＝an，则数列{an}是( )A．无法判断B．递增数列C．递减数列D．常数列7.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )A.64B.15C.30D.318.若数列{an}的前n项和sn＝n2－1，则a4等于( )A．17B．7C．8D．99.数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为( )A．121B．11C．99D．12010.已知a、b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是( )-6-\nA．<B．a2<b2C．a2b<ab2D．<11.已知一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为( )A．83B．63 C．108 D．75 12.一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A．10项B．13项C．12项D．11项二．填空（本题共4小题，每题5分，共20分）13.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·＝.14.已知△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cosC＝________.15.设等差数列{an}与{bn}的前n项之和分别为sn与sn′，若＝，则＝____.16.数列1，3，5，7，…的前n项和Sn＝__________.三．解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题12分，共70分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．18.已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．19.如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．-6-\n20.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)证明数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．21.已知等差数列{an}中，(1)a1＝，d＝－，sn＝－15，求n及an；(2)a1＝1，an＝－512，sn＝－1022，求d.22.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是公差为1的等差数列，且a2＝3，a3＝5.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn.-6-\n周口中英文学校2022---2022学年上期高二期中考试文科数学试题答案一，选择1.D2.C3.D4.B5.A6.B7.B8.B9.D10.D11.B12.C二，填空14. －13. 16.15.n2－＋1三，解答【解析】17.【答案】解 (1)由bsinA＝acosB及正弦定理＝，得sinB＝cosB.所以tanB＝，所以B＝.(2)由sinC＝2sinA及＝，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝，c＝2.18.【答案】 ∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.19.【答案】解 (1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12，由正弦定理，得AD＝＝＝24(nmile)．(2)在△ADC中，∠CAD＝30°，AC＝8，由余弦定理，得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos30°.-6-\n解得CD＝8nmile.∴A处与D处的距离为24nmile，灯塔C与D处的距离为8nmile.20.【答案】(1)方法一)∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.∴＝2(n∈N*)．∴数列{an＋1}是等比数列．方法二)由a1＝1知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.∵＝＝2(n∈N*)，∴数列{an＋1}是等比数列．(2)由(1)知{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1.21.【答案】 (1)∵Sn＝n×＋(－)×＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解之得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝＋(12－1)×(－)＝－4.(2)由Sn＝＝＝－1022，解之得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解之得d＝－171.22.解 (1)由题意，得＝a1＋n－1，即Sn＝n(a1＋n－1)，所以a1＋a2＝2(a1＋1)，a1＋a2＋a3＝3(a1＋2)，且a2＝3，a3＝5.解得a1＝1，所以Sn＝n2，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又n＝1时也满足.故an＝2n－1.(2)由(1)得bn＝(2n－1)·3n，-6-\n所以Tn＝1×3＋3×32＋…＋(2n－1)·3n，则3Tn＝1×32＋3×33＋…＋(2n－1)·3n＋1.∴Tn－3Tn＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)·3n＋1，则－2Tn＝3＋2×－(2n－1)·3n＋1＝3n＋1－6＋(1－2n)·3n＋1＝(2－2n)·3n＋1－6，故Tn＝(n－1)·3n＋1＋3.-6-
