河南省南阳市2022学年高二上学期期末考试数学（理）试题

河南省南阳市2022-2022学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：∀x>0，总有(x+1)ex>1，则￢p为()A.∃x0≤0，使得(x0+1)ex0≤1B.∃x0>0，使得(x0+1)ex0≤1C.∀x0>0，使得(x0+1)ex0≤1D.∀x0≤0，使得(x0+1)ex0≤1【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x>0，总有(x+1)ex>1，则￢p为：∃x0>0，使得(x0+1)ex0≤1．故选：B．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．x2y22.“3<m<7”是“方程+=1的曲线是椭圆”的()7−mm−3A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分条件又不必要条件【答案】Bx2y2【解析】解：若方程+=1的曲线是椭圆，7−mm−37−m>0m<7则m−3>0，即m>3，即3<m<7且m≠5，7−m≠m−3m≠5x2y2即“3<m<7”是“方程+=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件，7−mm−3故选：B．根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆方程的定义求出m的等价条件是解决本题的关键．3.已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC，M、N分别是边OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG=2GN，用向量OA,OB,OC，表示向量OG是()22122A.OG=OA+OB+OCB.OG=OA+OB+OC33233111112C.OG=OA+OB+OCD.OG=OA+OB+OC633633【答案】C2【解析】解：∵OG=OM+MG=OM+MN32121=OM+(MO+OC+CN)=OM+OC+(OB−OC)3333111=OA+OB+OC∴OG633111=OA+OB+OC6331/13\n故选：C．根据所给的图形和一组基底，从起点O出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论．本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．y≥04.已知实数x，y满足不等式组x−y+1≥0，则函数z=x+y+3的最大值为()2x+y−4≤0A.2B.4C.5D.6【答案】D【解析】：解：作出可行域如下图，z=x+y+3得y=−x+z−3，当直线y=−x+z−3过点C时，z最大，x−y+1=0x=1由得y=2，即C(1,2)，所以z的最大值为6．2x+y−4=0故选：D．作出不等式组对应的平面区域，z=x+y+3得y=−x+z−3，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键x2y21b2+15.椭圆+=1(a>b>0)的离心率是，则的最小值为()a2b223a323A.B.1C.D.233【答案】Ac1【解析】解：由题意可得，=a21即c=a23a2∴b2=a2−c2=43a2则b2+14+1a1a13==+≥2⋅=3a3a43a43a3a13当且仅当=即a=时取等号43a2b2+13∴的最小值为3a3故选：A．\n123a2由题意可得c=a，b2=a2−c2=3a，代入b2+14+1a1，利用基本不等式可求24==+3a3a43a最小值本题主要考查了椭圆的性质的应用及利用基本不等式求解最值的应用，属于知识的简单综合6.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1，AC⊥BC，且CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为()55253A.B.C.D.5355【答案】A【解析】解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨取CB=1，则CA=CC1=2CB=2．∴A(2,0，0)，B(0,0，1)，C1(0,2，0)，B1(0,2，1)．∴AB1=(−2,2，1)，BC1=(0,2，−1)．,BC>=AB1⋅BC135∴cos<AB11|AB||BC|=9⋅5=5．11故选：A．通过建立空间直角坐标系.利用向量夹角公式即可得出．本题考查了通过建立空间直角坐标系利用向量夹角公式求异面直线的夹角，属于基础题．7.点P(x0,y0)在圆x2+y2=1上运动，则点M(2x0,y0)的轨迹是()A.焦点在y轴上的椭圆B.焦点在x轴上的椭圆C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在x轴上的双曲线【答案】B【解析】解：∵点P(x0,y0)在圆x2+y2=1上，∴x2+y2=1，00(2x0)22∴+y=1，40x2∴点M(2x0,y0)是椭圆+y2=1上的点．4故选：B．22(2x0)22根据x0+y0=1变形+y0=1，得出结论．4本题考查了轨迹方程求解，椭圆的性质，属于基础题．14y28.若两个正实数x，y满足+=1，且不等式x+<m−3m有解，则实数m的取xy4值范围()A.(−1,4)B.(−∞,−1)∪(4,+∞)C.(−4,1)D.(−∞,0)∪(3,+∞)3/13\n【答案】By2【解析】解：∵不等式x+<m−3m有解，4y2∴(x+)min<m−3m，414∵x>0，y>0，且+=1，xyyy144xy4xy∴x+=(x+)(+)=++2≥2⋅+2=4，44xyy4xy4x4xy当且仅当=，即x=2，y=8时取“=”，y4xy∴(x+)min=4，4故m2−3m>4，即(m+1)(m−4)>0，解得m<−1或m>4，∴实数m的取值范围是(−∞,−1)∪(4,+∞)．故选：B．y2y2将不等式x+<m−3m有解，转化为求∴(x+)min<m−3m，利用“1”的代换44的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．本题考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题.在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断.运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值.对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解.属于中档题．9.直线4kx−4y−k=0与抛物线y2=x交于A、B两点，若|AB|=4，则弦AB的中1点到直线x+=0的距离等于()279A.B.2C.D.444【答案】C1【解析】解：直线4kx−4y−k=0可化为k(4x−1)−4y=0，故可知直线恒过定点(,0)4211∵抛物线y=x的焦点坐标为(,0)，准线方程为x=−，44∴直线AB为过焦点的直线|FA|+|FB||AB|∴AB的中点到准线的距离==222119∴弦AB的中点到直线x+=0的距离等于2+=244故选：C．根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标与准线方程，确定直线AB为过焦点的直线，根据抛物线的定义求得AB的中点到准线的距离，即可求得结论．本题主要考查了抛物线的简单性质.涉及抛物线的焦点弦的问题常需用抛物线的定义来解决．10.已知数列{an}的首项a1=0，an+1=an+2an+1+1，则a20=()\nA.99B.101C.399D.401【答案】C【解析】解：数列{an}的首项a1=0，an+1=an+2an+1+1，则：an+1+1=an+1+2an+1+1，整理得：(an+1+1)2=(an+1+1)2，所以：an+1+1=an+1+1，即：an+1+1−an+1=1(常数)，所以数列{an+1}是以a1+1=1为首项，1为公差的等差数列．则：an+1=1+(n−1)=n，整理得：an=n2−1(首项符合通项)，则：an=n2−1，所以：a20=400−1=399．故选：C．直接利用关系式的变换和定义求出数列的通项公式，进一步求出数列的项．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.给出以下命题，其中真命题的个数是()①若“￢p或q”是假命题，则“p且￢q”是真命题②命题“若a+b≠5，则a≠2或b≠3”为真命题111③已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=OA+OB+OC，则632P，A，B，C四点共面；x2y2④直线y=k(x−3)与双曲线−=1交于A，B两点，若|AB|=5，则这样的直45线有3条；A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：对于①，若“￢p或q”是假命题，则它的否定是“p且￢q”，它是真命题，①正确；对于②，命题“若a+b≠5，则a≠2或b≠3”，它的逆否命题是“若a=2且b=3，则a+b=5”，且为真命题，∴原命题也是真命题，②正确；111111对于③，由++=1，且OP=OA+OB+OC，632632∴P，A，B，C四点共面，③正确；对于④，由双曲线方程知a=2，c=3，即直线l：y=k(x−3)过双曲线的右焦点；又双曲线的两个顶点之间的距离是2a=4，且a+c=2+3=5，∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，即k=0时2a=4，∴满足|AB|=5的直线有2条，9y22255当直线与实轴垂直时，即x=c=3时，得−=1，即y=，则y=±，4542此时通径长为5，若|AB|=5，则此时直线AB的斜率不存在，不满足条件；综上可知有2条直线满足|AB|=5，④错误．综上所述，正确的命题序号是①②③，有3个．故选：C．①根据命题与它的否定真假性相反，即可判断正误；②根据原命题与它的逆否命题真假性相同，判断即可；5/13\n③根据空间向量的共面定理，判断正误即可；④由双曲线和直线的位置关系，判断结论是否正确．本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，是中档题．x2y212.F是双曲线C：−=1(a>0,b>0)的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，a2b2垂足为A，交另一条渐近线于点B.若2AF=FB，则C的离心率是()2314A.2B.2C.D.33【答案】C【解析】解：由题意得右焦点(,0)，设一渐近线OA的方程为=，则另一渐近线OB的方程为=−，设(,)，(,−)，∵2=，∴2(−,−)=(−,−)，2∴2(−)=−，−=−，33∴=，=，4233∴(,)．443−04由⊥可得，斜率之积等于−1，即3⋅=−1，−4∴2=32，∴=2+223．==3故选：C．设一渐近线OA的方程为=，设(,)，(,−)，由2=，求得点A222+2的坐标，再由⊥，斜率之积等于−1，求出=3，代入==进行运算．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得点A的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列2022，2022，1，−2022，…若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2022项之和2022=______．【答案】4018【解析】解：数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，可得2022，2022，1，−2022，−2022，−1，2022，2022，1，…，即有数列的最小正周期为6，可得一个周期的和为0，由2022÷6=336…3，可得2022=336×0+2022+2022+1=4018．故答案为：4018．\n由题意写出数列的前几项，可得数列的最小正周期为6，求得一个周期的和，计算可得所求和．本题考查数列的求和，注意运用数列的周期，考查运算能力，属于基础题．14.在正三棱柱ㄱ−11ㄱ1中，若=1=4，点D是1的中点，求点1到平面ㄱ1的距离______．【答案】2【解析】解：以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，1为z轴，建立空间直角坐标系，1(0,0，4)，(0,0，2)，(23,2，0)，ㄱ1(0,4，4)，1=(0,0，2)，=(23,2，−2)，ㄱ1=(0,4，2)，设平面ㄱ1的法向量=(,y，)，⋅=23x+2−2=0则，取=3⋅ㄱ1=4+2=0得=(3,−1,2)，∴点1到平面ㄱ1的距离：|1⋅|4===2．||8故答案为：2．以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点1到平面ㄱ1的距离．本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15.已知空间三点(0,2，3)，(2,5，2)，ㄱ(−2,3，6)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为______．【答案】65【解析】解：=(2,3，−1)，ㄱ=(−2,1，3)．∴⋅ㄱ=−4+3−3=−4，||=22+32+(−1)2=14，|ㄱ|=(−2)2+12+32=14．⋅ㄱ−42∴th∠ㄱ===−．||⋅|ㄱ|14×14735∴hn∠ㄱ=1−th2∠ㄱ=．7∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积=||⋅|ㄱ|⋅h∠ㄱ=14×14×35=65．7故答案为：65．⋅ㄱ=(2,3，−1)，ㄱ=(−2,1，3).可得⋅ㄱ=−4，||，|ㄱ|.可得th∠ㄱ=.||⋅|ㄱ|可得h∠ㄱ=1−th2∠ㄱ.以AB，AC为邻边的平行四边形的面积=||⋅|ㄱ|⋅h∠ㄱ．本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7/13\n2216.已知点P在离心率为3的双曲线−=1(>0,>0)上，1，2为双曲线的两22个焦点，且1⋅2=0，则△12的内切圆的半径与外接圆的半径的比值为______15【答案】−13【解析】解：设P为双曲线的右支上一点，|1|=，|2|=，|12|=2，由双曲线的定义可得−=2，由1⋅2=0即1⊥2，可得2+2=42，可得=22−22=22，则+=(−)2+4=42+82，由直角三角形12可得外接圆的半径为=，内切圆的半径设为r，11可得=(++2)，2222即有==，++242+82+23由==3，可得=，36则=2−2=，3222×153可得==(−1)，4×12+8×22+233315则则△12的内切圆的半径与外接圆的半径的比值为−1．315故答案为：−1．3设P为双曲线的右支上一点，|1|=，|2|=，|12|=2，运用双曲线的定义和直角三角形的外接圆的外心为斜边的中点，运用等积法求得内切圆的半径，结合离心率公式，化简即可得到所求比值．本题考查双曲线的定义和性质，以及三角形的外接圆和内切圆的半径，考查等积法求内切圆的半径，以及化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）2222217.已知命题p：方程+−2+2−2=0表示圆；命题q：双曲线−=15的离心率∈(1,2)，若命题“∧”为假命题，“∨”为真命题，求实数m的取值范围．【答案】解：若命题p：方程2+2−2+22−2=0表示圆为真命题，则(−)2+2=2−2>0，解得0<<2．22若命题q：双曲线−=1的离心率∈(1,2)，为真命题，则1+∈(1,2)，解得550<<15．∵命题“∧”为假命题，“∨”为真命题，∴与q必然一真一假．0<<2≤0或≥2∴，或，0<<15≤0或≥15\n解得2≤<15或⌀．综上可得：实数m的取值范围是[2,15)．【解析】若命题p：方程2+2−2+22−2=0表示圆为真命题，则(−)2+2222=2−>0，解得m范围.若命题q：双曲线−=1的离心率∈(1,2)，为真5命题，则1+∈(1,2)，解得.由于命题“∧”为假命题，“∨”为真命题，5可得p与q必然一真一假.即可得出．本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.如图，四棱锥−ㄱ底面为正方形，已知⊥平面ABCD，=，点M为线段PA上任意一点(不含端点)，点N在线段BD上，且=．(1)求证：直线//平面PCD；(2)若M为线段PA中点，求直线PB与平面AMN所成的角的余弦值．【答案】(1)证明：延长AN，交CD于点G，由相似知==，可得：//，⊄平面PCD，⊂平面PCD，则直线//平面PCD；(2)解：由于⊥ㄱ⊥，以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设(1,0，0)，则(1,1，0)，ㄱ(0,1，0)，(0,0，11111)，(,0,)，(,,0)2222则=(1,1，−1)，平面AMN的法向量为=(1,1,1)，1则向量与的夹角为，则th=，322则PB与平面AMN夹角的余弦值为．3【解析】(1)延长AN，交CD于点G，由相似知==，推出//，然后证明直线//平面PCD；(2)以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设(1,0，0)，求出相关点的坐标，=(1,1，−1)，平面AMN的法向量，利用向量的数量积求解PB与平面AMN夹角的余弦值．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及空间想象能力．9/13\n19.在锐角△ㄱ中，角A，B，C所对的边分别为a，b，.已知(1+2thㄱ)=2thㄱ+th．(1)证明：=2；(2)若△ㄱ的面积=4hㄱ，且△ㄱ的周长为10，D为BC的中点，求线段AD的长．【答案】证明：(1)锐角△ㄱ中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(1+2tsㄱ)=2thㄱ+th．利用正弦定理：h(1+2thㄱ)=2hthㄱ+thhㄱ，则：h(+ㄱ)+2hthㄱ=2hthㄱ+thhㄱ，所以：2hthㄱ=hthㄱ，由于：0<ㄱ<，2则：2h=h，即：=2．(2)△ㄱ的面积=4hㄱ，1则：×2××hㄱ=4hㄱ，2解得：=2，=4，∵++=10，∴=4，1∴thㄱ=，41∴=22+22−2×2×2×=64【解析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出结果．(2)利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．20.直三棱柱ㄱ−11ㄱ1中，1==ㄱ=1，E，F分别是ㄱㄱ1，BC的中点，⊥11，D为棱11上的点．(1)证明：⊥ㄱ；(2)证明：⊥；(3)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成14锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，14若不存在，说明理由．【答案】(1)证明：∵⊥11，11//，∴⊥，又∵1⊥，1∩=，∴⊥面1ㄱㄱ1．又∵ㄱ⊂面1ㄱㄱ1，∴⊥ㄱ，(2)以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系−，\n111则有(0,0,0),(0,1,),(,,0),1(0,0,1),1(1,0,1)，222设(,,),1=11且∈(0,1)，11即(,y，−1)=(1，0，0)，则(,0，1)，∴=(−,,−1)，22111∵=(0,1,)，∴⋅=−=0，所以⊥；22214(3)结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，理由14如下：由题可知面ABC的法向量=(0,0,1)，设面DEF的法向量为=(,,)，⋅=0则，⋅=011111∵=(−,,),=(−,,−1)，222221113−++=0=2222(1−)∴，即，111+2(−)+−=0=222(1−)令=2(1−)，则=(3,1+2,2(1−))．14∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，14|⋅|14∴|th〈,>|==，||||14|2(1−)|14即=，9+(1+2)2+4(1−)21417解得=或=(舍)，24所以当D为11中点时满足要求．【解析】(1)根据线面垂直的性质定理证明⊥面1ㄱㄱ1.即可．(2)建立空间坐标系，求出直线对应的向量，利用向量垂直的关系进行证明．(3)求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．本题考查的知识点是空间直线的垂直的判断以及空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键.考查学生的运算和推理能力．+221.已知数列{}的前n项和为(∈∗)，=，且1=1，{}为等比数列，31=3−4，4=5+1．(1)求{}和{}的通项公式；⋅(2)设=+1，∈∗，数列{}的前n项和为，若对∀∈∗均满足>2022，求整数m的最大值．+2【答案】解：(1)=，且1=1，3+2+1当≥2时，=−−1=−−1，33+1即为=(≥2)，−1−111/13\n2334+1(+1)即有=1⋅⋅…=1⋅⋅…⋅=，12−112−2−12上式对=1也成立，(+1)则=，∈∗；2{}为公比设为q的等比数列，1=3−4，4=5+1．可得1=6−4=2，4=15+1=16，则3=8，即=2，=2，∈∗；⋅⋅2+12+22+1(2)===−，+1(+1)(+2)+2+1232224232+22+12+2前n项和为=−+−+…+−=−2，3243+2+1+2(+1)⋅2+2+1−=+1=>0，(+2)(+3)2即+1>，可得递增，则的最小值为1=，32可得>，即<1346，32022则m的最大值为1345．(+1)【解析】(1)运用数列的递推式和恒等式，化简可得=，∈∗；再由等比数2列的通项公式，解方程可得公比，即可得到所求通项公式；⋅⋅2+12+22+1(2)求得===−，由裂项相消求和，可得，再由数列的单调+1(+1)(+2)+2+1性可得最小值和不等式恒成立思想，可得m的最大值．本题考查等比数列的通项公式的运用，数列的递推式和恒等式的运用，以及数列的单调性的运用：求恒成立问题，考查化简运算能力，属于中档题．2222.已知椭圆ㄱ1：+2=1(>0)的左、右焦点分别为1，2，点2也为抛物线ㄱ2：82=8的焦点．(1)若M，N为椭圆ㄱ1上两点，且线段MN的中点为(1,1)，求直线MN的斜率；(2)若过椭圆ㄱ1的右焦点2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设11线段AB，CD的长分别为m，n，证明+是定值．【答案】解：(1)抛物线ㄱ2：2=8的焦点(2,0)，则=2，2=2−2=4，22∴椭圆的标准方程：+=1，设(x1,1)，(2,2)，842211+=1841−211+2则，两式相减得：=−⋅，221−221+222+=184由MN的中点为(1,1)，则1+2=2，1+2=2，1−21∴直线MN的斜率==−，1−221∴直线MN的斜率为−；2111132(2)由椭圆的右焦点2(2,0)，当直线AB的斜率不存在或为0时，+=+=，42228\n当直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为=(−2)，=(−2)设(1,1)，(2,2)，联立22，消去y化简整理得：(1+22)2−82+82−+2=88=0，△=(−82)2−4(1+22)(82−8)=32(2+1)>0，828(2−1)∴1+2=1+22，12=1+22，242(1+2)42(1+2)则=1+2(1+2)−412=，同理可得：，1+222+21111+222+232∴+=(+)=，421+21+281132综上可知：+是定值．8【解析】(1)根据抛物线的性质，求得c，即可求得b的值，利用“点差法”即可求得直线MN的斜率；(2)分类讨论，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达11定理及弦长公式即可求得m的值，同理即可求得n的值，即可求得+是定值．本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查转化思想，属于中档题．13/13