永年二中高一数学第二次月考数学试题一、选择题1．空间四点最多可确定平面的个数是（）A．B．C．D．2．设集合，那么集合的真子集个数是（）A．3B．4C．7D．83．若直线不平行于平面，则下列结论成立的是（）A．内的所有直线都与直线异面B．内不存在与平行的直线C．内的直线都与相交D．直线与平面有公共点4．函数（，且）的图像过一个定点，则这个定点坐标是（）A．（5，1）B．（1，5）C．（1，4）D．（4，1）5．点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是()A．梯形B．空间四边形C．正方形D．有一内角为60o的菱形6．下列函数中，在上为减函数的是A.B.C.D.7．如图1，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为的圆（包括圆心）．则该组合体的表面积等于()A．B．C．D．8．如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1ACC1所成的角为 ( )A.B.C.D.9．已知函数是奇函数，当时，则=()A.C.D.-10．正方体内切球与外接球体积之比为 ( )A.1∶B.1∶3C.1∶3D.1∶911．如图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④12DM与BN是异面直线,以上四个结论中,正确的是 ( )A.①②③B.②④C.③④D.②③④12．如图,正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,已知△A′DE是△ADE绕边DE旋转过程中的一个图形.现给出下列命题:①恒有直线BC∥平面A′DE;②恒有直线DE⊥平面A′FG,③恒有平面A′FG⊥平面A′DE.其中正确命题的个数为 ( )A.0B.1C.2D.3二、填空题13．已知上的最大值比最小值多1，则a＝．14．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是cm3．24234224正视图俯视图侧视图(14题)15．已知函数，则．16．设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：（1）若，则；（2）若,在平面内，，则；（3）若，在平面内，则；（4）若，，，，则．其中正确的命题是．（填序号）三、解答题17．已知集合,,。（Ⅰ）求,；（Ⅱ）若,求实数的取值范围.1218．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；（2）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．19．设a＞0，f(x)＝是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性；20．如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O,E分别为B1D,AB的中点.(1)求证:OE∥平面BCC1B1.(2)求证:平面B1DC⊥平面B1DE.1221．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，．（1）求证：面；（2）设为等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值．22．在四棱锥中，，，，为的中点，为的中点，．（1）求证：；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积.121．空间四点最多可确定平面的个数是（）A．B．C．D．【答案】D解析：当四点确定的两条直线异面时，四点不共面，此时空间四点确定的平面个数最多，如三棱锥的顶点和底面上的顶点，这四个点确定4个平面，故选D．2．设集合，那么集合的真子集个数是（）A．3B．4C．7D．8解析：，所以．集合的真子集有共3个．故A正确．3．若直线不平行于平面，则下列结论成立的是（）A．内的所有直线都与直线异面B．内不存在与平行的直线C．内的直线都与相交D．直线与平面有公共点【答案】D【解析】试题分析：直线不平行于平面,则与平面相交或，所以D正确.4．函数（，且）的图像过一个定点，则这个定点坐标是（）A．（5，1）B．（1，5）C．（1，4）D．（4，1）【答案】B【解析】试题分析：令，解得，则时，函数，即函数图象恒过一个定点，故选B．5．点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是()A．梯形B．空间四边形C．正方形D．有一内角为60o的菱形【答案】C解析：如图所示：因为点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，所以,所以，,并且所成角为直角，所以四边形为正方形.6．下列函数中，在上为减函数的是A.B.C.D.【答案】B【解析】本题考查基本初等函数的单调性.12是指数函数，底数是增函数；是对数函数，底数是减函数；是幂函数，是增函数；是反比例函数，比例系数在上为增函数.故选B7．如图，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为的圆（包括圆心）．则该组合体的表面积等于()A．B．C．D．解析：由题意可知三视图复原的几何体是下部为圆柱，上部为圆锥的几何体，所以几何体的表面积为：π()2+2π×2+×2π×2=21π故选C8．如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1ACC1所成的角为 ( )A.B.C.D.【解析】选D.如图,连接BD交AC于O,连接C1O,则∠BC1O为直线BC1与平面A1ACC1所成的角,BO=BC1,故∠BC1O=.9．已知函数是奇函数，当时，则的值等于()12A.C.D.-【解析】因为,故选D.10．正方体内切球与外接球体积之比为 ( )A.1∶B.1∶3C.1∶3D.1∶9【解析】选C.设正方体棱长为a,内切球半径为R1,外接球半径为R2.R1=,R2=a,V内∶V外=∶=1∶3,故选C.11．如图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN是异面直线,以上四个结论中,正确的是 ( )A.①②③B.②④C.③④D.②③④【解析】选C.由题可知,将正方体的平面展开图还原,①BM与ED是异面直线,故错误;②CN与BE平行,故错误;③因为三角形BEM是等边三角形,BM与BE成60°角,又因为BE∥CN,所以CN与BM成60°角,故正确;④从图中显然得到DM与BN是异面直线,故正确.12．如图,正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,已知△A′DE是△ADE绕边DE旋转过程中的一个图形.现给出下列命题:①恒有直线BC∥平面A′DE;②恒有直线DE⊥平面A′FG,③恒有平面A′FG⊥平面A′DE.其中正确命题的个数为 ( )12A.0B.1C.2D.3【解析】选D.①根据BC∥DE知,恒有直线BC∥平面A′DE;②根据DE⊥A′G,DE⊥FG知,恒有直线DE⊥平面A′FG;③根据直线DE⊥平面A′FG,DE⊂平面A′DE知,恒有平面A′FG⊥平面A′DE.13．已知上的最大值比最小值多1，则a＝．【答案】2或解析：当时，当时，14．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是cm3．24234224正视图俯视图侧视图(第14题)【解析】此几何体是一个组合体，上面上一个圆台，下面是半个球.故其体积15．已知函数，则．解析：则，，则所以2．16．设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：（1）若，则；（2）若,，，则；12（3）若，，则；（4）若，，，，则．其中正确的命题是．（填序号）解析：（1）不正确，面可能相交。（2）不正确，当直线平行时，还可能相交；根据面面平行的判定定理只有当相交时，。（3）正确，根据面面平行定义可知与无公共点，即可知。（4）正确，因为，可知，又因为，，则。综上可得D正确。17．已知集合,,。（Ⅰ）求,；（Ⅱ）若,求实数的取值范围.解析：（Ⅰ）(2分)因为(4分)所以(6分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知又恒成立,故即(12分)18．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC=D，∴AD⊥平面BDC，∵AD⊂平面ABD．∴平面ADB⊥平面BDC（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，∵DB=DA=DC=1，∴AB=BC=CA=，12从而，所以三棱锥D﹣ABC的表面积为：19．设a＞0，f(x)＝是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性；【解析】(1)因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)，于是＝＋3a，即.因为a＞0，故a＝1.(2)设x2＞x1≥0，f(x1)－f(x2)＝(3x2－3x1)(－1)．因为3x为增函数，且x2＞x1，故3x2－3x1＞0.因为x2＞0，x1≥0，故x2＋x1＞0，于是＜1，即－1＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数．20．如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O,E分别为B1D,AB的中点.(1)求证:OE∥平面BCC1B1.(2)求证:平面B1DC⊥平面B1DE.【证明】(1)连接BC1,设BC1∩B1C=F,连接OF,因为O,F分别是B1D与B1C的中点,所以OF∥DC,且OF=DC,又E为AB中点,所以EB∥DC,且EB=DC,从而OF∥EB,OF=EB,即四边形OEBF是平行四边形,所以OE∥BF,又OE⊄面BCC1B1,BF⊂面BCC1B1,所以OE∥面BCC1B1.12(2)因为DC⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,所以BC1⊥DC,又BC1⊥B1C,且DC,B1C⊂平面B1DC,DC∩B1C=C,所以BC1⊥平面B1DC,而BC1∥OE,所以OE⊥平面B1DC,又OE⊂平面B1DE,所以平面B1DC⊥平面B1DE.21．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，．（1）求证：面；（2）设为等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值．解析：（1）∵底面为矩形∴．∵侧面底面，且交线为,平面∴面．（2）由（1）可知面。∵平面∴平面底面,且交线为。取的中,连接．∵为等边三角形∴平面．∴是直线与平面所成角．在矩形中，．在正中，∴．22．在四棱锥中，，，，为的中点，为的中点，．（1）求证：；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积.解析：（1）因为为的中点，为的中点，则在的中，又则∥平面.12（2）证明:取中点，连接.在中，，，则,．而，则在等腰三角形中.①又在中，,则∥因为平面，平面，则，又，即，则平面，所以因此．②，又，由①②知平面．故（3）由（1）（2）知,，因为平面，∥，则平面因此为三棱锥的高而故12
