河北省唐山市唐山一中2022-2022学年度高二数学开学调研试卷理一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.下列选项叙述错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”B．若命题，则命题是C．若为真命题，则，均为真命题D．“”是“”的充分不必要条件2.已知是公比为的等比数列，且成等差数列，则＝（）A．B．C．D．或3．已知满足则的取值范围是（）A．B．C．D．4．给出下面四个命题：①“”的充要条件是“平行于所在的平面”；②“直线平面内所有直线”的充要条件是“平面”；③“直线为异面直线”的充分而不必要条件是“直线不相交”；④“平面//平面”的必要而不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”．其中正确命题的序号是（）A.①②B．②③C．③④D．②④5．设是三角形的一个内角，且，则曲线表示（）A．焦点在轴上的椭圆B．焦点在轴上的椭圆C．焦点在轴上的双曲线D．焦点在轴上的双曲线146.正四棱柱中,,则与平面所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．7．已知双曲线的离心率，且与椭圆有相同的焦点，该双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．8．过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于，则为（）A．B．C．D．9．设点是曲线：（为实常数）上任意一点，点处切线的倾斜角为，则的取值范围是（）A．B． C．[0，]∪D．[0，]∪10.是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是（）A．B．C．D．11．如图，正方体的棱长为，点在棱上，且，点是平面上的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则动点的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线14二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.正四棱锥的所有棱长相等，为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值等于．14.过点作斜率为的直线与椭圆：相交于,，若是线段的中点，则椭圆的离心率为．15．在长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点到截面的距离是．16．已知函数，若直线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范围为．三．解答题（本大题共6小题，共70分．必须写出相应的文字说明、过程或步骤）17.（本题满分10分）已知:命题；命题.求使命题为假时实数的取值范围.18.（本题满分12分）如图，在直三棱柱中，平面侧面且.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线与平面所成的角为,求锐二面角的大小.1419．（本题满分12分）已知为实数，函数．(Ⅰ)若，求函数在上的最大值和最小值；(Ⅱ)若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围．PQNMxOy20.（本题满分12分）抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然.如图所示，今有抛物线，一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点，反射后，又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线上的点，再反射后又射回点设两点的坐标分别是，(Ⅰ)证明：;(Ⅱ)求抛物线方程.21．（本题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点．直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．22．（本题满分12分）已知函数在是增函数，在为减函数．（Ⅰ）求的表达式；14（Ⅱ）求证：当时，方程有唯一解；（Ⅲ）当时，若在内恒成立，求的取值范围．2022-2022学年第二学期高二开学调研数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题1-5.CDBDC6-10.ACBDD11-12.BC11.提示：过点作平面的垂线，垂足为，在平面上过作的垂线，垂足为，连接，由三垂线定理知：，线段的长即为点到直线的距离，,过点在平面上作，垂足为，连接，则平面，,又点是平面上的动点，由抛物线的定义知轨迹为抛物线，选B．二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.解：当为真命题时：；……2分当为真命题时：设此时∴；…………………3分当≥0时,由，解得…4分，综上可得.……5分14①当真假时,，②当假真时,…9分∴当的取值范围为时,命题中有且只有一个为真命题.………………10分18.解（1）证明：如图，取的中点，连接，因，则………1分由平面侧面，且平面侧面，得，又平面，所以.………3分.因为三棱柱是直三棱柱，则，所以.…5分.又，从而侧面，又侧面，故.………6分(Ⅱ)解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影∴即为直线与所成的角，则………7分在等腰直角中，，且点是中点，∴，且，∴………8分过点作于点，连，由（1）知，则，且∴即为二面角的一个平面角………9分且直角中：，又，∴，………11分.又二面角为锐二面角∴，即二面角的大小为----12分14解法二（向量法）略.19.解：(Ⅰ)∵，∴，即．∴．……………………2分由，得或；由，得．因此，函数的单调增区间为，；单调减区间为．……………………4分在取得极大值为；在取得极小值为．又∵，，且.……………………6分∴在[－，1]上的的最大值为，最小值为．……………………8分(Ⅱ)∵，∴．∵函数的图象上有与轴平行的切线，∴有实数解．……………………10分∴，∴，即．因此，所求实数的取值范围是．……………………12分20.解（Ⅰ）由抛物线的光学性质及题意知光线必过抛物线的焦点，………………2分设，代入抛物线方程得：，………4分………6分（Ⅱ）由题意知，设点M关于直线的对称点为，则有：，…………………8分由共线且平行于轴得，…………………9分14又三点共线，即．抛物线方程为．…12分21.解：（Ⅰ）由题意得，解得，．椭圆的方程是．…4分（Ⅱ）以线段为直径的圆过轴上的定点.设，由得．，．…………………6分,直线的方程为，故点．直线的方程为，故点．………………8分若以线段为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立．………………9分，，恒成立．又因为，，所以．得．故过定点.…12分22.解：（Ⅰ），在上恒成立，∴，∴．………2分又，在上恒成立，∴，∴．…………………4分14∴∴…………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，方程为，即．设，由，………………6分令，∵，∴，解得．令，∵，∴，解得．……8分递增区间为，递减区间为即在处有一个最小值，即当且时，，∴只有一个解．所以当时，方程有唯一解．…9分（Ⅲ）∵，∴当,为减函数，最小值为．…10分令，则．∵，，∴在恒成立．∴函数在为增函数，其最大值为．…………………11分依题意，解得为所求范围．…………………12分2022-2022学年第二学期高二开学调研数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题1-5.CDBDC6-10.ACBDD11-12.BC11.提示：过点作平面的垂线，垂足为，在平面上过作的垂线，垂足为，连接，由三垂线定理知：，线段的长即为点到直线的距离，,过点在平面上作，垂足为，连接，则平面，,又点是平面14上的动点，由抛物线的定义知轨迹为抛物线，选B．二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.解：当为真命题时：；……2分当为真命题时：设此时∴；…………………3分当≥0时,由，解得…4分，综上可得.……5分①当真假时,，②当假真时,…9分∴当的取值范围为时,命题中有且只有一个为真命题.………………10分18.解（1）证明：如图，取的中点，连接，因，则………1分由平面侧面，且平面侧面，得，又平面，所以.………3分.因为三棱柱是直三棱柱，则，所以.…5分.又，从而侧面，又侧面，故.………6分(Ⅱ)解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影∴即为直线与所成的角，则………7分在等腰直角中，，且点是中点，14∴，且，∴………8分过点作于点，连，由（1）知，则，且∴即为二面角的一个平面角………9分且直角中：，又，∴，………11分.又二面角为锐二面角∴，即二面角的大小为----12分解法二（向量法）略.19.解：(Ⅰ)∵，∴，即．∴．……………………2分由，得或；由，得．因此，函数的单调增区间为，；单调减区间为．……………………4分在取得极大值为；在取得极小值为．又∵，，且.……………………6分∴在[－，1]上的的最大值为，最小值为．……………………8分(Ⅱ)∵，∴．∵函数的图象上有与轴平行的切线，∴有实数解．……………………10分∴，∴，即．14因此，所求实数的取值范围是．……………………12分20.解（Ⅰ）由抛物线的光学性质及题意知光线必过抛物线的焦点，………………2分设，代入抛物线方程得：，………4分………6分（Ⅱ）由题意知，设点M关于直线的对称点为，则有：，…………………8分由共线且平行于轴得，…………………9分又三点共线，即．抛物线方程为．…12分21.解：（Ⅰ）由题意得，解得，．椭圆的方程是．…4分（Ⅱ）以线段为直径的圆过轴上的定点.设，由得．，．…………………6分,直线的方程为，故点．直线的方程为，故点．………………8分若以线段为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立．………………9分14，，恒成立．又因为，，所以．得．故过定点.…12分22.解：（Ⅰ），在上恒成立，∴，∴．………2分又，在上恒成立，∴，∴．…………………4分∴∴…………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，方程为，即．设，由，………………6分令，∵，∴，解得．令，∵，∴，解得．……8分递增区间为，递减区间为即在处有一个最小值，即当且时，，∴只有一个解．所以当时，方程有唯一解．…9分（Ⅲ）∵，∴当,为减函数，最小值为．…10分令，则．∵，，∴在恒成立．∴函数在为增函数，其最大值为．…………………11分14依题意，解得为所求范围．…………………12分14
