江西师大附中2022届高三年级期末考试数学（理）试题江西师大附中高三年级数学（理）期末考试卷命题人：吴小平审题人：蔡卫强2022.2一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数满足（其中为虚数单位），则的共轭复数的模为（）A．B．2C．D．2．设集合，则=()A．B．C．D．3．下列命题中正确命题的个数是（）（1）命题“若则”的逆否命题为“若，则”；（2）在回归直线中，增加1个单位时，一定减少2个单位；（3）若为假命题，则均为假命题；（4）命题使得，则均有；（5）设随机变量服从正态分布，若，则；A．2B．3C．4D．54．设若，则（）A．B．0C．1D．2565．已知实数a、b、c、d成等比数列，且对于函数，当时取到极大值，则（）A．B．0C．1D．26．平行四边形中，，，是线段上一点，且满足，若为平行四边形内任意一点(含边界）,则的最大值为（）A．13B．0C．8D．57．双曲线的左右焦点分别为，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8.在三棱锥中，平面，，为侧棱上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是（）A．平面，且三棱锥的体积为B．平面，且三棱锥的体积为-13-\nC．平面，且三棱锥的体积为D．平面，且三棱锥的体积为9．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有（）A．150种B．300种C．600种D．900种10．在中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，，且满足，若点是外一点，,,则平面四边形面积的最大值是（）A．B．C．3D．11．设椭圆方程为，右焦点,方程的两实根分别为，则必在（）A．圆内B．圆外C．圆上D．圆与圆形成的圆环之间12．已知定义在上单调函数，且对任意的，都有，则方程的解所在区间是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图所示的程序框图的运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是14.已知且，则=15.请阅读下列材料，若两个正实数，满足，那么.证明：构造函数，因为对一切实数，恒有，所以，从而得，所以.根据上述证明方法，若个正实数满足时，你能得到的结论为16．已知设函数且的零点均在区间内,则的最小值为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列满足条件：（1）判断数列是否等比数列-13-\n（2）若，令，记求证：①②18．（本小题满分12分）PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准PM2.5日均值在35微克/立方米以下，空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间，空气质量为二级；在75微克/立方米以上，空气质量为超标。从某自然保护区2022年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值（微克/立方米）[25,35](35,45](45,55](55,65](65,75](75,85]频数311113（1）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（2）从这10天的数据中任取3天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列；（3）以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空所质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级（精确到整数）19．（本小题满分12分）已知梯形中，，=、分别是、上的点，是的中点，沿将梯形翻折，使平面平面（如图）（1）当时，求证：（2）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；（3）当取得最大值时，求二面角的余弦值-13-\n20．（本小题满分12分）已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足（1）求实数的值；（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；（3）若点的纵坐标为1，过点作动直线与双曲线右支交于不同两点,在线段上取异于点的点满足,证明：点恒在一条定直线上.21．（本小题满分12分）已知定义域为R的函数，其中R（1）求实数的取值范围，并讨论当时，的单调性；（2）当时，证明：当时，.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答，多选、多答，按所选的首题进行评分；不选，按本选考题的首题进行评分。22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四点在同一圆上，与的延长线交于点点在的延长线上（1）若,求的值；（2）若证明：.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线为参数）经过椭圆为参数）的左焦点（1）求的值；（2）设直线与椭圆交于、两点，求的最大值和最小值.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数（1）当时，求函数的定义域；（2）若对任意的R,都有成立，求实数的取值范围.-13-\n答案一、选择题1．C2．解析：选C3．（1）正，（2）错，（3）错，（4）正确（5）正确，选B4．,，选B5．由，，选A6．建系如图，设则，令,当它过点时，=选A7．,由,即，选B8．由正视图可知，，且点为线段的中点，所以，由侧视图可知，,因为平面所以，又因为且，所以平面，所以，又因为，且，所以可得平面，，选C9．①甲丙同去，乙不去，有②甲丙同不去，乙去有③甲、乙、丙都不去有-13-\n种选C10．由已知得又等边三角形选A11．，选D12．令令选C13.K>614.015.16.易知当时，；当时，在上恒成立，故在R上是增函数又，只有一个零点，记为，则同理可证明也只有一个零点，记为且故有2个不同零点即将向左平移3个单位，即将向右平移4个单位，又函数的零点均在区间内，且，故当时，即的最小值为-13-\n-13-\n17．解（1）当时，不是等比数列，当时，是以为首项，2为等比的等比数列………………（6分）（2）………………（8分）①…………（10分）②…………（12分）18.（1）记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则………………（4分）（2）依据条件，服从超几何分布，其中的可能取值为0，1，2，3，其分布列为0123………………（8分）（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为设一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则估计一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级……………………（12分）-13-\n19.（1）证明：过点作于，连结，由平面平面知平面，而平面故又为的中点，四边形为正方形，又故平面而平面………………（4分）(2)，平面平面平面,又由（1）知平面即时，有最大值，为……………………（8分）（3）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系由（2）知设平面的法向量为则即取则由题可知平面的一个法向量为则由于所求二面角的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为……（12分）20.（1）设双曲线的半焦距为由题意可知解得………………（2分）（2）由题（1）可知，直线，点设因为,所以所以因为点在双曲线上所以，即所以-13-\n所以直线与直线的斜率之积是定值………………（7分）（3）设点，且过的直线与双曲线的右支交于不同两点，则即设,则即，整理，得由①×③，②×④得将代入⑥得⑦将⑤代入⑦，得点H恒在直线上………………（12分）21.解（1）由定义域为R，知恒成立，于是，所以得，所以实数的取值范围是…………（2分）①当时，，函数定义域为R，于是在R上单调递增；………………（3分）②当时，求导得，因为，所以恒成立，函数定义域为R，又，知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。………………（6分）（2）当时，，又在单调递增，于是即得在上成立-13-\n当时，由（1）知在上递增，在上递减当时，由，即得在上成立当时，有下面证明：令，则，且，记则，于是在上单调递增又因为，所以存在唯一的使得，从而，于是在上单调递减，在上单调递增，此时从而，即亦即因此不等式在上成立所以当时，对于任意的不等式恒成立………………（12分）-13-\n22.（1）四点共圆，可得,即(2)证明：,又,可得又四点共圆23.(1)将椭圆的参数方程化为普通方程，得所以，则点的坐标为是经过点的直线，故………………（4分）（2）将的参数方程代入椭圆的普通方程，并整理，得设点在直线参数方程中对应的参数分别为则当，|取最大值3当时，取最小值………………（10分）24.（1）由题意得则当时，，，即当时，，，即当时，即综上所述，函数的定义域为………………（5分）（2）由题意得恒成立-13-\n即恒成立令则所以故………………（10分）-13-
