南昌三中2022—2022学年度上学期期中考试高二数学试卷一、选择题(每小题5分，共60分)1、直线3x3ya0的倾斜角为（）A、30°B、60°C、120°D、150°2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()223．直线x2被曲线(xa)y4截得的弦长为23，则a的值为（）A．1或3B．1或3C．2或2D．34．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．垂直B．相交C．平行D．异面5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CC1的中点，则AE，BF所成的角的余弦值是()12612A.－B.C.D.5555xy1≥0，x2y6．若实数x，y满足xy≥0，则z3的最小值是（）x≤0，A．0B．1C．3D．97．P为所在平面外一点，,在平面上的射影必在的（）-1-\nD1C1A1B1PA．边的垂直平分线上B．边的高线上DCABC．边的中线上D．的角平分线上8.如图,在正方体中,为对角线的三等分点,则到各顶点的距离的不同取值有（）A．4个B．6个C．5个D．3个9．已知集合。用表示集合M中的元素个数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()-2-\n2721122A．πaB．πaC．πaD．5πa3311．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P(图2)．有下列四个命题，其中真错误的代号是()A．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半12.已知是直线上一点，，分别是圆与圆上的点则的最大值为（）A．4B．3C．2D．1二、填空题(每小题5分，共20分)13.已知正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，侧棱长为，则其体积为14.已知直线与互相垂直，垂足为（1，c）,则的值等于.-3-\n15.若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是16．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为cm.三、解答题(共75分)17．（本题10分）如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．（1）求边所在直线的方程；（2）求矩形外接圆的方程．-4-\n18.（本题12分）如图，四棱锥中，四边形是正方形，若分别是线段的中点．（1）求证：∥底面；（2）若点为线段的中点，平面与平面有怎样的位置关系？并证明。19.已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点.-5-\n（I）求k的取值范围；（II），其中O为坐标原点，求.20．（本题满分12分）已知圆.（1）若是圆上任意一点，点，求的最大值与最小值.（2）求的最大值与最小值.（3）求的最大值.-6-\n21.（本题满分12分）如图，三棱台中，分别为的中点.（I）求证：平面；（II）若求证：平面平面.22、（本题满分12分）已知△BCD中，∠BCD=90，BC=CD=1,AB⊥平面BCD，∠ADB=60,E、F分别是AC、AD上的动点，且（1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；-7-\n（2）是否存在λ,使平面BEF⊥平面ACD？若存在,求出λ的值；若不存在,请说明理由。AECFBD-8-\n南昌三中2022—2022学年度上学期期中考试高二数学答案一、选择题(每小题5分，共60分)1、直线的倾斜角为（C）A、30°B、60°C、120°D、150°2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(D)答案：3．直线被曲线截得的弦长为，则的值为（B）A．或B．或C．或D．4．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l(A)A．垂直B．相交C．平行D．异面5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CC1的中点，则AE，BF所成的角的余弦值是(C)-9-\n12612A.－B.C.D.55556．若实数满足则的最小值是（B）A．0B．1C．D．97．为所在平面外一点，,在平面上的射影必在的AA．边的垂直平分线上B．边的高线上D1C1A1B1PC．边的中线上D．的D角平分线上CAB8.如图,在正方体中,为对角线-10-\n的三等分点,则到各顶点的距离的不同取值有（）A．4个B．6个C．5个D．3个9．已知集合。用表示集合M中的元素个数，若，则的取值范围是（D）A．B．C．D．10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()B.2721122A．πaB．πaC．πaD．5πa3311．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P(图2)．有下列四个命题，其中真错误的代号是(D)A．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半-11-\n12.已知是直线上一点，，分别是圆与圆上的点则的最大值为（C）A．4B．3C．2D．1二、填空题(每小题5分，共20分)13.已知正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，侧棱长为，则其体积为11214.已知直线与互相垂直，垂足为（1，c）,则的值等于-12-\n15.若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是816．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.13三、解答题(共75分)17．（本题10分）如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．（1）求边所在直线的方程；（2）求矩形外接圆的方程．-13-\n【解析】⑴∵边所在直线的方程为，且与垂直，∴直线的斜率为．又∵点在直线上，∴边所在直线的方程为：．．⑵由解得点的坐标为，-14-\n∵矩形两条对角线的交点为．∴为矩形外接圆的圆心．又．从而矩形外接圆的方程为．18.（本题12分）如图，四棱锥中，四边形是正方形，若分别是线段的中点．（1）求证：∥底面；（2）若点为线段的中点，平面与平面-15-\n有怎样的位置关系？并证明。（1）证明：连接，由是线段的中点得：为的中点，∴为的中位线，…………2分又平面，平面∴平面…4分（2）平面∥平面，………………5分证明如下：∵分别为，的中点，∴为△-16-\n的中位线，∴∥…6分又∵，∴∥，……………8分又平面，∴平面∥平面………………………10分19.已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点.（I）求k的取值范围；（II），其中O为坐标原点，求.（II）设.-17-\n将代入方程,整理得,所以,由题设可得，解得，所以l的方程为.故圆心在直线l上，所以.20．（本题满分12分）已知圆.（1）若是圆上任意一点，点，求的最大值与最小值.（2）求的最大值与最小值.-18-\n（3）求的最大值.20．(1)将圆方程配方知圆心,半径,…………………………………3分由得，.…………6分（2）因直线u＝x-2y与圆C有公共点故.……………………………………9分(3)由于相切时V取的最值易知.………………………12分-19-\n21.（本题满分12分）如图，三棱台中，分别为的中点.（I）求证：平面；（II）若求证：平面平面.（I）证法一：连接设,连接，在三棱台中，分别为的中点，可得，所以四边形是平行四边形，则为的中点，又是的中点，所以,-20-\n又平面，平面，所以平面.证法二：在三棱台中，由为的中点，可得所以为平行四边形，可得在中，分别为的中点，所以又，所以平面平面，-21-\n因为平面，所以平面.(II)证明：连接.因为分别为的中点，所以由得，又为的中点，所以因此四边形是平行四边形，所以又，所以.又平面，，所以平面-22-\n，又平面，所以平面平面22、（本题满分12分）已知△BCD中，∠BCD=90，BC=CD=1,AB⊥平面BCD，∠ADB=60,E、F分别是AC、AD上的动点，且（1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（2）是否存在λ,使平面BEF⊥平面ACD？若存在,求出λ的值；若不存在,请说明理由。AECFBD22．解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD。-23-\n∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC.又∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.（2）由（1）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴AECFBD2由AB=AE·AC得。故当时，平面BEF⊥平面ACD。-24-
