南昌三中2022年高一入学摸底考试数学试卷说明：本卷共有六个大题，21个小题，全卷满分100分，时间100分钟。一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确答案）1．股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。已知一支股票某天涨停，之后两天时间又跌回到原价，若这两天此股票股价的平均每天下跌的百分率为，则满足的方程是（）A．B．C．D．2．如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（）A．B．C．D．3．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有（）A．∠ADE＝20°B．∠ADE＝30°C．∠ADE＝∠ADCD．∠ADE＝∠ADC4．如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB，BC，CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（）5．已知二次函数的图象如图所示，顶点为（-1,0），下列结论：abc＜0；；a＞2；＞0．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．46．设二次函数y1=a（x−x1）（x−x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y2+y1的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x2−x1）=dB．a（x1−x2）=d-16-\nC．a（x1−x2）2=dD．a（x1+x2）2=d一、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）7．定义运算“*”，规定x*y=a＋by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6，则2*3＝．8．关于x的方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m=．9．定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1﹤x2时，都有y1﹤y2，称该函数为增函数．根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有．①y=2x；②y=x＋1；③y=x2（x＞0）；④．10．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=40°，则∠B+∠E=°．11.如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．12．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC边长为4，M（4,m）、N（n,4）分别是AB、BC上的两个动点，且ON⊥MN，当OM最小时，＝．13．已知实数a、b、c满足a＋b＝ab＝c，有下列结论：①若c≠0，则；②若a＝3，则b＋c＝9；③若a＝b＝c，则abc＝0；④若a、b、c中只有两个数相等，则a＋b＋c＝8．其中正确的是．14．若关于的方程有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则的取值范围是.-16-\n(10题图）(11题图）（12题图）一、（共2小题，每小题6分，共12分）15．（1）先化简，再求值：，其中(满分3分)。(2)解不等式组(满分3分)。16．解方程。（满分6分）二、（共2小题，每小题8分，共16分）17．把一个三角形分割成几个小正三角形，有两种简单的“基本分割法”．基本分割法1：如图①，把一个正三角形分割成4个小正三角形，增加3个．基本分割法2：如图②，把一个正三角形分割成6个小正三角形，增加5个．请你运用上述两种“基本分割法”，解决下列问题：(1)把图③的正三角形分割成9个小正三角形；(2)把图④的正三角形分割成10个小正三角形；(3)把图⑤的正三角形分割成11个小正三角形；(4)把图⑥的正三角形分割成12个小正三角形.-16-\n18．已知关于x的函数.（1）m=__________时，是一次函数；（2）求证：对任何实数m，的图像与都有公共点；（3）若是关于的二次函数的图像与x有两个不同的公共点A、B（点A在点B左边），图像顶点为C，且△ABC是等腰直角三角形，求m的值；（4）是否存在这样的点P，使得对任何实数m，的图像都经过P点？若存在，求出所有P的坐标；若不存在，请说明理由.ABCDEFGN一、（共2小题，每小题9分，共18分）19．如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG。（1）连结GD，求证△ADG≌△ABE；（2）连结FC，求证∠FCN=45°；（3）请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由。-16-\n20．如图，已知抛物线经过O(0,0)，A(4,0),B(3,)三点，连接AB，过点B作BC∥轴交该抛物线于点C.（1）求这条抛物线的函数关系式.（2）两个动点P、Q分别从O、A同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动.其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着线段AB向B点运动.设这两个动点运动的时间为（秒)(0＜≤2)，△PQA的面积记为S.①求S与的函数关系式；②当为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状；（3）是否存在这样的值，使得△PQA是直角三角形?若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由.一、（本题12分）21．在直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数y＝（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，判断四边形OKPA的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：①求出点A，B，C的坐标．②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的？若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标；若不存在，试说明理由．-16-\n姓名班级学号南昌三中2022年高一入学摸底考试数学答卷一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）题号123456答案二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）7．8．9．10．11．12．13．14．三、（共2小题，每小题6分，共12分）15.（1）（2）16.-16-\n三、（共2小题，每小题8分，共16分）17.18.四、（共2小题，每小题9分，共18分）19.-16-\n20.-16-\n六、（本题12分）21.-16-\n-16-\n高一数学参考答案一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）题号123456答案DBCDBA二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）7．108．09．①③10．22011．12．513．①③④14.三、（共2小题，每小题6分，共12分）15．（1）原式==当=-5时，原式=3。（2）由①得：由②得：原不等式组的解集为。16．当时，原方程可化为，当时，原方程可化为，原方程的解为或四、（共2小题，每小题8分，共16分）17.（1）如图③的正三角形分割成9个小正三角形；（2）如图④的正三角形分割成10个小正三角形；（3）如图⑤的正三角形分割成11个小正三角形；-16-\n（4）如图⑥的正三角形分割成12个小正三角形.18．（1）根据题意得：m=0（2）m=0时，y=－x+1与x轴交于点（1，0）m≠0时，△=+4m（m－1）=≥0∴对任何实数m，y=m－x－（m－1）的图像与x都有公共点；（3）由m－x－（m－1）=0得=1，∴AB=且顶点C的纵坐标∵△ABC是等腰直角三角形∴AB=2即∴m=或m=，或m=－经检验m=，或m=－（4）由m=0得y=－x+1，m=1得y=－x由解得或对任何实数m当x=1时，y=m－x－（m－1）=m－1－（m－1）=0当x=－1时，y=m－x－（m－1）=m+1－（m－1）=2对任何实数m，y=m－x－（m－1）的图像都经过点（1，0）（－1，2）即所求点P的坐标为（1，0）或（－1，2）-16-\n三、（共2小题，每小题9分，共18分）19．（1）如图，连接DG∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形∴DA=BA，EA=GA，∠BAD=∠EAG=90°∴∠DAG=∠BAE∴△ADG≌△ABE；（2）过F作BN的垂线，设垂足为H∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°∴∠BAE=∠HEF∵AE=EF∴△ABE≌△EHF∴AB=EH，BE=FH∴AB=BC=EH∴BE+EC=EC+CH∴CH=BE=FH∴∠FCN=45°；（3）在AB上取AQ=BE，连接QD∵AB=AD∴△DAQ≌△ABE∵△ABE≌△EHF∴△DAQ≌△ABE≌△ADG∴∠GAD=∠ADQ∴AG、QD平行且相等又∵AG、EF平行且相等∴QD、EF平行且相等∴四边形DQEF是平行四边形∴在AB边上存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形．20.（1）-16-\n（2）①过B作 由题意QA＝t,PA=4—t过点Ｑ作轴交x轴于F，则 ② 此时 （3）存在，当点Ｑ在AＢ上运动时，要使得是直角，必须使. ∴PA＝2QA ∴4—t=2t.三、（本题12分）21．（1）四边形OKPA是正方形．证明：∵⊙P分别与两坐标轴相切，∴PA⊥OA，PK⊥OK．∴∠PAO=∠OKP=90°．又∵∠AOK=90°，∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．-16-\n∴四边形OKPA是矩形．又∵AP=KP，∴四边形OKPA是正方形．（2）①连接PB．过点P作PG⊥BC于G．∵四边形ABCP为菱形，∴BC=PA=PB=PC（半径）．∴△PBC为等边三角形．在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=∴P（）带入解之得：x=±2（负值舍去）．∴PG=，PA=BC=2．P(2,)易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3．∴A（0，），B（1，0），C（3，0）．②设二次函数解析式为：，过点A（0，），∴∴二次函数解析式为：y＝x2−x+设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得：解之得：．∴直线BP的解析式为：y=x-，要使过点A作直线AM∥BP，则可得直线AM的解析式为：y＝x+．解方程组：得：；．-16-\n过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：y＝x+t．∴0=3+t．∴t＝−3．∴直线CM的解析式为：y＝x−3．解方程组：得：；．．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，8）-16-
