2022届丰城中学高三数学（文科）第四次月考试卷考试时间120分钟满分150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知集合A=，B=，则=（）A．B.C.D.R解析:A==,B==,故=.故选A.2已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，他为纯虚数，所以实部为零，即1+2a=0,所以a=3.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】4.已知命题“,使”是假命题，则实数的取值范围是()A.B.[-2,6]C.D.(−2,6)【答案】B【解析】命题“,使”的否定为“，使”二次函数开口向上，要使它大于0恒成立，只需要，即，.5.某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是()-10-\n【答案】C【解析】：当俯视图为A时，几何体为正方体，体积为1，现体积为,所以几何体为正方体的一半，选C6.下列命题中，表示两条不同的直线，表示三个不同的平面．①若，则；②若则；③若||，||，则||；④若||，||，则.则正确的命题是()A．①③B．②③C．①④D．②④【解析】①若若则，正确②若则；不正确，可以相交，如长方体中③若则不正确可以平行，异面，相交④若则，，则，又因为所以，正确【答案】C7.函数（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象()A.向右平移个长度单位B.向左平移个长度单位C.向右平移个长度单位D.向左平移个长度单位【解析】有图可得，A=1，将（）代入中，可得【答案】B8.当||取得最小值时，实数的值为（）-10-\nA.1B.2C.D.【解析】:由题意可知：所以x=时，原式最小.【答案】C9.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有（）A.24对B.30对C.48对D.60对10.已知函数则下列结论正确的是（）A.是偶函数B.是增函数C.是周期函数D.的值域为11.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为A．B．C．D．12.已知函数,且函数恰有3个不同的零点,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C-10-\n【解析】因为当的时候，，所以所有大于等于0的x代入得到的相当于在[－1，0）重复的周期函数，时，，对称轴x=-1，顶点（－1，1+a）（1）如果a＜－1，函数至多有2个不同的零点；（2）如果a=－1，则y有一个零点在区间（－1，0），有一个零点在，一个零点是原点；（3）如果a＞－1，则有一个零点在，y右边有两个零点，故实数a的取值范围是，故选C．第II卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为.【解析】是等差数列，，是等比数列，在等比数列里，隔项的符号相同.14.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是，若，，则=.解析:由得,由得,∴,由余弦定理得,∴.15.若关于，的不等式组（是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则.【答案】-1或0-10-\n【解析】作出不等式组表示的区域如下图所示，由图可知，要使平面区域的边界是一个直角三角形，则0或1. 16.给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①点是的图像的对称中心，其中；②的定义域是，值域是；③函数的最小正周期为；④函数在上是增函数．则上述命题中真命题的序号是．【答案】②③【解析】:结合已知函数若（其中m为整数），则m叫做离实数x 最近的整数，记作，即.①函数的定义域是R，值域是；成立， ②函数的图像关于点（,0）(k∈Z)对称；不成立，③函数是周期函数，最小正周期是1；成立，④函数在上是增函数；不成立，.-10-\n三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本小题满分10分)设函数.（1）若时,解不等式；（2）如果,求的取值范围.【答案】（1）；（2）（-∞，-1]∪[3，+∞）．【解析】（1）当a=－1时，f(x)=︱x－1︳+︱x+1︳.由f(x)≥3得︱x－1︳+︱x+1|≥3由绝对值的几何意义知不等式的解集为（1）若a=1，则f（x）=2|x-1|不满足题设条件．若a＜1，，f（x）的最小值为1-a；若a＞1，，f（x）的最小值a-1．∴，f（x）≥2的充要条件是|a-1|≥2，∴a的取值范围（-∞，-1]∪[3，+∞）．解析二（1）同上；（2）根据不等式的几何性质，所以对于的充要条件是表示点x到1和a两点的距离之和。∴f(x)的最小值为|a-1|，所以对于的充要条件是|a-1|≥2，解得a≥3或a≤-1.18.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为且满足（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．-10-\n19.（本小题满分12分）已知等差数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.解析:(1)设等差数列首项为,公差为,依题意得,解得,故数列的通项公式为;(2)设数列的前项和为,∵,∴,记,则,两式相减得,即,∴.20.（本小题满分12分）如图，在中，，AB=BC=2，P为AB边上的一动点，，交AC于点D,现将沿PD翻折至，使平面平面PBCD.-10-\n（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；（2）若点P为AB的中点，E为的中点，求证：.解：（1）设，则令则单调递增极大值单调递减由上表易知：当时，有取最大值。证明：（2）作得中点F，连接EF、FP由已知得：为等腰直角三角形，所以.21．（本小题满分12分）如图1，在矩形中，,分别是,的中点，沿将矩形折起，使，如图2所示：（1）若,分别是,的中点，求证：//平面；（2）若，，求三棱锥的体积．【答案】【解析】（Ⅰ）法一：取中点，连结、,分别是,的中点-10-\n，且，，且四边形为平行四边形，又平面，平面//平面法二：取中点，连结,,分别是,的中点，且，，且，四边形为平行四边形又平面，平面//平面法三：取中点，连结,,分别是,的中点，，又平面，平面平面,平面//平面，//平面，平面//平面而平面//平面（Ⅱ）,平面又，，且为等边三角形而中，，故三棱锥的体积为．22．（本小题满分12分）已知函数（为常数）．（Ⅰ）已知，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）当时，求的值域；（Ⅲ）设，若存在，，使得成立，求实数的取值范围．-10-\n【答案】，,【解析】（Ⅰ），切线方程为：，即为所求的切线方程．（Ⅱ）由，得．，，得．在上单调递增，在上单调递减．，,,的值域为（Ⅲ），在是增函数，，，的值域为．依题意，，即，.-10-
