江苏省东台市2022-2022学年高二数学11月月考试题理一、填空题题5分共70分1．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＜0”的否定是 ．2．椭圆+=1的一个焦点为（0，1）则m= ．3．双曲线的离心率为 ．4．准线方程x=﹣1的抛物线的标准方程为 ．5．以双曲线=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 ．6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是 ．7．已知抛物线方程为，则其准线方程为 ．8．已知A、B、C三点不共线，O为平面ABC外的一点，=++（λ∈R）确定的点P与A、B、C四点共面，则λ的值为 ．9．已知向量，且，则y= ．10．向量=（0，1，0）与=（﹣3，2，）的夹角的余弦值为 ．11．已知，，•=12，则在方向上的投影为 ．12．设二面角α﹣CD﹣β的大小为45°，A点在平面α内，B点在CD上，且∠ABC=45°，则AB与平面β所成角的大小为 ．13．已知F是抛物线x2=4y的焦点，P是抛物线上的一个动点，且A的坐标为（0，﹣1），则的最小值等于 ．14．过抛物线x2=4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则•+•的最大值等于 ．二、解答题15．(14分)已知函数f（x）=x3+x﹣16．（1）求满足斜率为4的曲线的切线方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程．-7-16．(14分)某河上有座抛物线形拱桥，当水面距顶5m时，水面宽为8m，一木船宽4m高2m，载货后木船露在水面上的部分高为m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？17．(14分)已知向量=（x，1，2），=（1，y，﹣2），=（3，1，z），∥，⊥．（1）求向量，，；（2）求向量（+）与（+）所成角的余弦值．18．(16分)已知椭圆E：上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为，点是右准线上任意一点，过作直线的垂线交椭圆于点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；（3）证明：直线与椭圆E只有一个公共点．-7-19．(16分)如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求证：A1B∥面ADC1；（2）求直线B1C1与平面ADC1所成角的余弦值．20．(16分)如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．-7-2022-2022学年度第一学期2022级数学（理科）11月份检测试卷参考答案一：填空题1.∃x∈R，x2﹣x+1≥02.33.4.y2=4x5.y2=16x6.27。y=18-9.-410.11.12.30°13.14.﹣16．二：解答题15：解：（1）设切点坐标为（x0，y0），函数f（x）=x3+x﹣16的导数为f′（x）=3x2+1，由已知得f′（x0）=k切=4，即，解得x0=1或﹣1，切点为（1，﹣14）时，切线方程为：y+14=4（x﹣1），即4x﹣y﹣18=0；切点为（﹣1，﹣18）时，切线方程为：y+18=4（x+1），即4x﹣y﹣14=0；…（7分）（2）设切点坐标为（x0，y0），由已知得f'（x0）=k切=，且，切线方程为：y﹣y0=k（x﹣x0），即，将（0，0）代入得x0=﹣2，y0=﹣26，求得切线方程为：y+26=13（x+2），即13x﹣y=0．…（14分）16：解：如图所示建立直角坐标系xOy，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），过点（4，﹣5），∴16=﹣2p（﹣5），∴2p=，∴抛物线方程为x2=﹣y，x=2时，y=﹣，∴相距为+=2时不能通行．…（14分）-7-17：解：（1）∵向量=（x，1，2），=（1，y，﹣2），=（3，1，z），且∥，⊥，∴，解得x=﹣1，y=﹣1，z=1；∴向量=（﹣1，1，2），=（1，﹣1，﹣2），=（3，1，1）；（2）∵向量（+）=（2，2，3），（+）=（4，0，﹣1），∴（+）•（+）=2×4+2×0+3×（﹣1）=5，|+|==，|+|==；∴（+）与（+）所成角的余弦值为cosθ===．18：解：（1）由题，，又因为从而得，所以椭圆E：………………………………………………………………………4分(2)设，，因为，所以，所以又因为且代入化简得……10分(3)由(2)知，直线的方程为，即，-7-由得，化简得:，解得，所以直线与椭圆只有一个交点．…………………………16分19：（1）证明：如图，以{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），B1（2，0，4），C1（0，2，4）∴，，，设平面ADC1的法向量为，由∴取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为由此可得，又A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥面ADC1．（2）解：，设直线B1C1与平面ADC1所成角为θ，则，又θ为锐角，∴直线B1C1与平面ADC1所成角的余弦值为．20：解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，-7-∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为，由，得，取x=，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的余弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．-7-
