江苏省赣榆高级中学2022-2022下学期期末模拟高一数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．若,则自然数．2．函数的单调增区间是．3．如下图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为__64______．4．五个数1，2，3，4，的平均数是3，这五个数的方差是_2．5．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为－4，则输出y的值为____2____．第5题第3题6．设点为圆：上的任意一点，点在直线任意一点，则线段长度的取值范围是．7．已知向量，的夹角为，且，，则．．8．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有下列四个命题：①若，且，则；②若，且，则；③若，且，则；④若，且，则．则所有正确命题的序号是②．9．正四面体的四个面上分别写有数字1，2，3，4，把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字恰好是2，4，1，3，4，3的概率为．10．已知圆：，圆与轴交于两点，若7\n,则．11．已知均为锐角，且，．则的值等于．12．已知函数是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点．若，则实数的值为．13．已知函数，则函数的零点是．14．已知O是锐角△ABC的外心，AB=6，AC=10，若=x＋y，且2x＋10y=5，则=20．二、解答题：本大题6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知向量,，，其中A、B、C分别是的三内角.（1）求的值；（2）求的最大值.解析：（1）由……………………………2分∵,……………………4分化简得：……………………………………………6分7\n即=4…………………………………………………………………………7分（2）由（1）知：∴…………………………………8分…………………………………………………10分由“对勾”函数特性知：函数，在时的最小值是4.…12分∴…………………………………………………14分16．（本小题满分14分）已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）若函数满足，试求实数的最小正值．解=…………………………2分………4分∴T==π……………………………6分(Ⅱ)函数满足即函数图像的对称轴是即当时f(x)取最大（小）值时,1,……10分所以kπ+7\n即(k∈Z)………………13分∴所求实数的最小正值是,………………14分17．（本小题满分15分）某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号分组频数频率第一组[230，235)80.16第二组[235，240)①0.24第三组[240，245)15②第四组[245，250)100.20第五组[250，255]50.10合计501.00（1）写出表中①②位置的数据；（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．解：（2）3，2，1（2）3/518．（本小题满分15分）已知关于的一元二次方程.（1）若是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；（2）若，求方程没有实根的概率.解：设“方程有两个正根”的事件为A，（1）由题意知本题是一个古典概型用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个二次方程x2-2（a-2）x-b2+16=0有两正根，等价于，……………………………4分7\n则事件A包含的基本事件为（6，1）、（6，2）、（6，3）、（5，3）共4个………6分∴所求的概率为P(A)=……………………………7分（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6}，……………………………8分其面积为S（Ω）=12……………………………9分满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6，（a-2）2+b2＜16}……………10分其面积为S(B)=+=………………………14分∴所求的概率P（B）=……………………………15分xyOAMBN19．（本小题满分16分）如图，在直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，点A(1，0)，B为直线x＝4上任意一点，直线AB交圆O于不同两点M，N．（1）若，求点B的坐标；（2）若＝2，求直线AB的方程；（3）设＝λ，＝μ，求证：λ＋μ为定值．25．（1）解:设直线AB的方程,即，，直线AB的方程,因为,所以。（2）设，由，得，，求直线的方程为。（3）设，由，得。同理，，7\n由，得，代入=0。20．（本小题满分16分）设为实数，记函数的最大值为．（1）若，解关于求的方程；（2）求．解所以------（1）…………………1分令所以…………………3分所以方程（1）可化为解得（舍去）…………………5分所以即解得所求x的集合为…………………7分（2）令，∴的取值范围是。由题意知即为函数，的最大值，…………9分7\n∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，故；…………………11分（2）当时，，，有=；…………………12分（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，若即时，，………………13分若即时，………………15分综上所述，有…………………16分7
