2022届南通市高三第三次模拟考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．NY（第3题）开始开始1．已知集合，，则▲．2．设复数满足（是虚数单位），则复数的模为▲．3．右图是一个算法流程图，则输出的的值是▲．4．“”是“”成立的▲条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）(第5题)0.01000.01750.00250.00500.0150406080100120140速度/km/h5．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60km/h~120km/h，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为▲．6．在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为▲．7．从集合中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为▲．22O11515x(第9题)y8．在平面直角坐标系中，设点为圆：上的任意一点，点(2，)()，则线段长度的最小值为▲．9．函数，，在上的部分图象如图所示，则的值为▲．10．各项均为正数的等比数列中，．当取最小值时，数列的通项公式an=▲．11．已知函数是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点，，，．若，则实数的值为▲．12．过点作曲线：的切线，切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，…，依次下去，得到第个切点．则点的坐标为▲．13．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB，，CD．若，则的值为▲．14．已知实数a1，a2，a3，a4满足a1a2a3，a1a42a2a4a2，且a1a2a3，则a4的取值范围是▲．二、解答题2215．如图，在四棱锥中，底面是矩形，四条侧棱长均相等．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．（第15题）16．在△ABC中，角，，所对的边分别为，，c．已知．（1）求角的大小；（2）设，求T的取值范围．17．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8mm；图2是双层中空玻璃，厚度均为4mm，中间留有厚度为的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为的均匀介质，两侧的温度差为，单位时间内，在单位面积上通过的热量，其中为热传导系数．假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为，空气的热传导系数为．）（1）设室内，室外温度均分别为，，内层玻璃外侧温度为，外层玻璃内侧温度为，且．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用，及表示）；（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%22，应如何设计的大小？图1图2墙墙8T1T2室内室外墙墙x4T1T2室内室外4（第17题）18．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为．分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且．（第18题）（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线，的斜率之和为定值．19．已知数列是首项为1，公差为的等差数列，数列是首项为1，公比为的等比数列．（1）若，，求数列的前项和；22（2）若存在正整数，使得．试比较与的大小，并说明理由．20．设是定义在的可导函数，且不恒为0，记．若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶负函数”；若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶不减函数”（为函数的导函数）．（1）若既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数的取值范围；（2）对任给的“2阶不减函数”，如果存在常数，使得恒成立，试判断是否为“2阶负函数”？并说明理由．数学附加题21．【选做题】A．选修4—1：几何证明选讲（第21—A题）如图，⊙的半径为3，两条弦，交于点，且，，．求证：△≌△．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵不存在逆矩阵，求实数的值及矩阵的特征值．22C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知，，，，其中．设直线与的交点为，求动点的轨迹的参数方程（以为参数）及普通方程．D．选修4—5：不等式选讲已知，，．求证：．22．【必做题】设且，证明：．23．【必做题】下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面积各占转盘面积的，，，．游戏规则如下：①当指针指到Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分；②（ⅰ）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相应的积分，游戏结束；（ⅱ）若参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束．22ⅠⅠⅡⅡⅣⅢⅢⅣ（第23题）设某人参加该游戏一次所获积分为．（1）求的概率；（2）求的概率分布及数学期望．南通市2022届高三第三次调研测试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．NY（第3题）开始开始1．已知集合，，则▲．【答案】2．设复数满足（是虚数单位），则复数的模为▲．【答案】3．右图是一个算法流程图，则输出的的值是▲．【答案】4．“”是“”成立的▲条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）(第5题)0.01000.01750.00250.00500.0150406080100120140速度/km/h【答案】必要不充分5．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60km/h~120km/h，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为▲．22【答案】6．在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为▲．【答案】47．从集合中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为▲．【答案】O11515x(第9题)y8．在平面直角坐标系中，设点为圆：上的任意一点，点(2，)()，则线段长度的最小值为▲．【答案】9．函数，，在上的部分图象如图所示，则的值为▲．【答案】10．各项均为正数的等比数列中，．当取最小值时，数列的通项公式an=▲．【答案】11．已知函数是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点，，，．若，则实数的值为▲．【答案】12．过点作曲线：的切线，切点为，设在轴上的投影是点，过点22再作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，…，依次下去，得到第个切点．则点的坐标为▲．【答案】13．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB，，CD．若，则的值为▲．【答案】14．已知实数a1，a2，a3，a4满足a1a2a3，a1a42a2a4a2，且a1a2a3，则a4的取值范围是▲．【答案】二、解答题15．如图，在四棱锥中，底面是矩形，四条侧棱长均相等．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．（第15题）证明：（1）在矩形中，，又平面，平面，所以平面．………6分（2）如图，连结，交于点，连结，在矩形中，点为的中点，又，故，，………9分又，平面，22所以平面，………12分又平面，所以平面平面．………14分16．在△ABC中，角，，所对的边分别为，，c．已知．（1）求角的大小；（2）设，求T的取值范围．解：（1）在△ABC中，，………3分因为，所以，所以，………5分因为，所以，因为，所以．………7分（2）………11分因为，所以，故，因此，所以．………1422分17．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8mm；图2是双层中空玻璃，厚度均为4mm，中间留有厚度为的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为的均匀介质，两侧的温度差为，单位时间内，在单位面积上通过的热量，其中为热传导系数．假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为，空气的热传导系数为．）（1）设室内，室外温度均分别为，，内层玻璃外侧温度为，外层玻璃内侧温度为，且．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用，及表示）；（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计的大小？图1图2墙墙8T1T2室内室外墙墙x4T1T2室内室外4（第17题）解：（1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为，22，则，………2分………6分．………9分（2）由（1）知，当4%时，解得（mm）．答：当mm时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%．………14分18．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为．（第18题）分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线，的斜率之和为定值．（1）解：由题意，得，，故，从而，所以椭圆的方程为．①22………5分（2）证明：设直线的方程为，②直线的方程为，③………7分由①②得，点，的横坐标为，由①③得，点，的横坐标为，………9分记，，，，则直线，的斜率之和为………13分．………16分19．已知数列是首项为1，公差为的等差数列，数列是首项为1，公比为的等比数列．（1）若，，求数列的前项和；（2）若存在正整数，使得．试比较与的大小，并说明理由．解：（1）依题意，，22故，所以，………3分令，①则，②①②得，，，所以．………7分（2）因为，所以，即，故，又，………9分所以………11分（ⅰ）当时，由知22，………13分（ⅱ）当时，由知，综上所述，当时，；当时，；当时，．………16分（注：仅给出“时，；时，”得2分．）20．设是定义在的可导函数，且不恒为0，记．若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶负函数”；若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶不减函数”（为函数的导函数）．（1）若既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数的取值范围；22（2）对任给的“2阶不减函数”，如果存在常数，使得恒成立，试判断是否为“2阶负函数”？并说明理由．解：（1）依题意，在上单调递增，故恒成立，得，………2分因为，所以．………4分而当时，显然在恒成立，所以．………6分（2）①先证：若不存在正实数，使得，则恒成立．………8分假设存在正实数，使得，则有，由题意，当时，，可得在上单调递增，当时，恒成立，即恒成立，故必存在，使得（其中为任意常数），这与恒成立（即有上界）矛盾，故假设不成立，所以当时，，即；………13分②再证无解：假设存在正实数，使得，22则对于任意，有，即有，这与①矛盾，故假设不成立，所以无解，综上得，即，故所有满足题设的都是“2阶负函数”．………16分22南通市2022届高三第三次调研测试数学附加题参考答案及评分建议21．【选做题】A．选修4—1：几何证明选讲（第21—A题）如图，⊙的半径为3，两条弦，交于点，且，，．求证：△≌△．证明：延长交⊙与点，，………2分由相交弦定理得，………6分又，，故，，………8分所以，，而，所以△≌△．………10分B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵不存在逆矩阵，求实数的值及矩阵的特征值．解：由题意，矩阵的行列式，解得，………4分矩阵的特征多项式22，………8分令并化简得，解得或，所以矩阵的特征值为0和11．………10分C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知，，，，其中．设直线与的交点为，求动点的轨迹的参数方程（以为参数）及普通方程．解：直线的方程为，①直线的方程为，②………2分由①②解得，动点的轨迹的参数方程为（为参数，且），………6分将平方得，③将平方得，④………8分由③④得，．………10分（注：普通方程由①②直接消参可得．漏写“”扣1分．）22D．选修4—5：不等式选讲已知，，．求证：．证明：先证，只要证，即要证，即要证，………5分若，则，，所以，若，则，，所以，综上，得．从而，………8分因为，所以．………10分22．【必做题】设且，证明：．证明：（1）当时，有，命题成立．………2分（2）假设当时，命题成立，即22成立，………4分那么，当时，有．+．所以当时，命题也成立．………8分根据（1）和（2），可知结论对任意的且都成立．………10分23．【必做题】下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面积各占转盘面积的，，，．游戏规则如下：①当指针指到Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分；②（ⅰ）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相应的积分，游戏结束；（ⅱ）若参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束．22ⅠⅠⅡⅡⅣⅢⅢⅣ（第23题）设某人参加该游戏一次所获积分为．（1）求的概率；（2）求的概率分布及数学期望．解：（1）事件“”包含：“首次积分为0分”和“首次积分为40分后再转一次的积分不高于40分”，且两者互斥，所以；………4分（2）的所有可能取值为0，10，40，100，由（1）知，又，，，所以的概率分布为：01040100………7分因此，（分）．………10分22
