南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学一、填空题1、函数的最小正周期为。2、已知复数，其中是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于第象限。3、右图是一个算法流程图，如果输入的值是，则输出的值是。4、某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区间[100，104]上的产品件数是。5、袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是。6、如图，在平面四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，E为线段AO的中点，若（），则7、已知平面α，β，直线，给出下列命题：①若，，则，②若，，则，③若，则，④若，，则.其中是真命题的是。（填写所有真命题的序号）。8、如图，在中，D是BC上的一点。已知，20则AB=。9、在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线C：的焦点为F，定点，若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM：MN=。10、记等差数列的前n项和为，已知，且数列也为等差数列，则=。11、已知知函数，，则不等式的解集是。12、在平面直角坐标系中，已知⊙Ｃ：，Ａ为⊙Ｃ与x负半轴的交点，过A作⊙Ｃ的弦AB，记线段AB的中点为M.则直线AB的斜率为。13、已知均为锐角，且，则的最大值是。14、已知函数，当时，关于的方程的所有解的和为。二、解答题15、在中，角A、B、C的对边分别为.已知.(1)若,求的面积；(2)设向量，，且，求的值。2016、如图，在四棱锥P—ABCD中，，，，.（1）求证：平面；（2）若M为线段PA的中点，且过三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值。(第16题图)PABCDM17．右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）。过O作，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知（单位：m）,记通风窗EFGH的面积为S（单位：）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设，将S表示成的函数；(ii)设，将S表示成的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？2018、如图，在平面直角坐标系中，椭圆E：的离心率为，直线l：与椭圆E相交于A，B两点，，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N.（1）求的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值。xyAOBCDMN(第18题图)19、已知函数，其中为常数.(1)若,求曲线在点处的切线方程.(2)若,求证：有且仅有两个零点；（3）若为整数，且当时，恒成立，求的最大值。2020．给定一个数列，在这个数列里，任取项，并且不改变它们在数列中的先后次序，得到的数列的一个阶子数列。已知数列的通项公式为，等差数列，，是数列的一个3子阶数列。（1）求的值；（2）等差数列是的一个阶子数列，且，求证：（3）等比数列是的一个阶子数列，求证：20南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学附加题21、选做题A，选修4-1；几何证明选讲如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB、AC分别交于点E、F.已知AD为∠BAC的平分线，求证：EF||BCBADECF（第21A题图）B．选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，A的逆矩阵（1）求a,b的值；（2）求A的特征值。C．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C：，直线l：.设曲线C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度。D．选修4-5：不行等式选讲已知x,y,z都是正数且xyz=1,求证：(1+x)(1+y)(1+z)≥822、甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3：0，3：1，3：2获胜的概率；20（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分.求甲队得分X的分布列及数学期望。23、（本小题满分10分）已知，定义（1）记，求的值；（2）记，求所有可能值的集合。20南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．p2．一3．－24．555．6．7．③④8．9．10．5011．(1，2)12．213．14．1000015．（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知cosC＝．（1）若×＝，求△ABC的面积；（2）设向量x＝(2sin，)，y＝(cosB，cos)，且x∥y，求sin(B－A)的值．解：（1）由·＝，得abcosC＝．又因为cosC＝，所以ab＝＝．……………………2分又C为△ABC的内角，所以sinC＝．……………………4分所以△ABC的面积S＝absinC＝3．……………………6分（2）因为x//y，所以2sincos＝cosB，即sinB＝cosB．…………………8分因为cosB≠0，所以tanB＝．因为B为三角形的内角，所以B＝．…………………10分所以A＋C＝，所以A＝－C．所以sin(B－A)＝sin(－A)＝sin(C－)＝sinC－cosC＝×－×20＝．…………………14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，AD＝CD＝AB，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．（1）求证：BC⊥平面PAC；(第16题图)PABCDM（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值．证明：（1）连结AC．不妨设AD＝1．因为AD＝CD＝AB，所以CD＝1，AB＝2．因为ÐADC＝90°，所以AC＝，ÐCAB＝45°．在△ABC中，由余弦定理得BC＝，所以AC2＋BC2＝AB2．所以BC^AC．……………………3分因为PC^平面ABCD，BCÌ平面ABCD，所以BC^PC．……………………5分因为PCÌ平面PAC，ACÌ平面PAC，PC∩AC＝C，所以BC^平面PAC．……………………7分(第16题图)PABCDMN（2）如图，因为AB∥DC，CDÌ平面CDMN，ABË平面CDMN，所以AB∥平面CDMN．……………………9分因为ABÌ平面PAB，平面PAB∩平面CDMN＝MN，所以AB∥MN．……………………12分在△PAB中，因为M为线段PA的中点，所以N为线段PB的中点，即PN：PB的值为．……………………14分17．（本小题满分14分）EBGANDMCFOHP(第17题图)右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在圆的圆心为O．为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上)．过O作OP^AB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P．已知OP＝10，MP＝6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）．20（1）按下列要求建立函数关系式：(i)设∠POF＝θ(rad)，将S表示成θ的函数；(ii)设MN＝x(m)，将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？解：（1）由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．(i)在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ．在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON－OM＝10cosθ－3.5，故S＝EF×FG＝20sinθ(10cosθ－3.5)＝10sinθ(20cosθ－7)．即所求函数关系是S＝10sinθ(20cosθ－7)，0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝．…………4分(ii)因为MN＝x，OM＝3.5，所以ON＝x＋3.5．在Rt△ONF中，NF＝＝＝．在矩形EFGH中，EF＝2NF＝，FG＝MN＝x，故S＝EF×FG＝x．即所求函数关系是S＝x，0＜x＜6.5．…………8分（2）方法一：选择(i)中的函数模型：令f(θ)＝sinθ(20cosθ－7)，则f′(θ)＝cosθ(20cosθ－7)＋sinθ(－20sinθ)＝40cos2θ－7cosθ－20．…………10分由f′(θ)＝40cos2θ－7cosθ－20＝0，解得cosθ＝，或cosθ＝－．因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ＝．设cosα＝，且α为锐角，则当θ∈(0，α)时，f′(θ)＞0，f(θ)是增函数；当θ∈(α，θ0)时，f′(θ)＜0，f(θ)是减函数，所以当θ＝α，即cosθ＝时，f(θ)取到最大值，此时S有最大值．即MN＝10cosθ－3.5＝4.5m时，通风窗的面积最大．…………14分方法二：选择(ii)中的函数模型：因为S＝，令f(x)＝x2(351－28x－4x2)，20则f′(x)＝－2x(2x－9)(4x＋39)．………10分因为当0＜x＜时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当＜x＜时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以当x＝时，f(x)取到最大值，此时S有最大值．即MN＝x＝4.5m时，通风窗的面积最大．…………14分18．（本小题满分16分）xyAOBCDMN(第18题图)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l：y＝x与椭圆E相交于A，B两点，AB＝2．C，D是椭圆E上异于A，B的任意两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．（1）求a，b的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值．解：（1）因为e＝＝，所以c2＝a2，即a2－b2＝a2，所以a2＝2b2．……2分故椭圆方程为＋＝1．由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限．由解得A(b，b)．又AB＝2，所以OA＝，即b2＋b2＝5，解得b2＝3．故a＝，b＝．………………5分（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为＋＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)．①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)，显然k1≠k2．20从而k1·kCB＝·＝＝＝＝－．所以kCB＝－．……………………8分同理kDB＝－．于是直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)，直线BC的方程为y＋1＝－(x＋2)．由解得从而点N的坐标为(，)．用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，)．…………11分所以kMN＝＝＝－1．即直线MN的斜率为定值－1．………14分②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，－1)．仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB＝－．此时CA：x＝2，DB：y＋1＝－(x＋2)，它们交点M(2，－1－)．BC：y＝－1，AD：y－1＝k2(x－2)，它们交点N(2－，－1)，从而kMN＝－1也成立．由①②可知，直线MN的斜率为定值－1．…………16分20方法二：由（1）知，椭圆E的方程为＋＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)．①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2．显然k1≠k2．直线AC的方程y－1＝k1(x－2)，即y＝k1x＋(1－2k1)．由得(1＋2k12)x2＋4k1(1－2k1)x＋2(4k12－4k1－2)＝0．设点C的坐标为(x1，y1)，则2·x1＝，从而x1＝．所以C(，)．又B(－2，－1)，所以kBC＝＝－．………………8分所以直线BC的方程为y＋1＝－(x＋2)．又直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)．由解得从而点N的坐标为(，)．用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，)．………11分所以kMN＝＝＝－1．20即直线MN的斜率为定值－1．………………14分②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，－1)．仍然设DA的斜率为k2，则由①知kDB＝－．此时CA：x＝2，DB：y＋1＝－(x＋2)，它们交点M(2，－1－)．BC：y＝－1，AD：y－1＝k2(x－2)，它们交点N(2－，－1)，从而kMN＝－1也成立．由①②可知，直线MN的斜率为定值－1．………………16分19．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝1＋lnx－，其中k为常数．（1）若k＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（2）若k＝5，求证：f(x)有且仅有两个零点；（3）若k为整数，且当x＞2时，f(x)＞0恒成立，求k的最大值．（参考数据ln8＝2.08，ln9＝2.20，ln10＝2.30）解：（1）当k＝0时，f(x)＝1＋lnx．因为f¢(x)＝，从而f¢(1)＝1．又f(1)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程y－1＝x－1，即x－y＝0．………3分（2）当k＝5时，f(x)＝lnx＋－4．因为f¢(x)＝，从而当x∈(0，10)，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(10，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以当x＝10时，f(x)有极小值．………………5分因f(10)＝ln10－3＜0，f(1)＝6＞0，所以f(x)在(1，10)之间有一个零点．20因为f(e4)＝4＋－4＞0，所以f(x)在(10，e4)之间有一个零点．从而f(x)有两个不同的零点．……………8分（3）方法一：由题意知，1+lnx－＞0对x∈(2，＋∞)恒成立，即k＜对x∈(2，＋∞)恒成立．令h(x)＝，则h¢(x)＝．设v(x)＝x－2lnx－4，则v¢(x)＝．当x∈(2，＋∞)时，v¢(x)＞0，所以v(x)在(2，＋∞)为增函数．因为v(8)＝8－2ln8－4＝4－2ln8＜0，v(9)＝5－2ln9＞0，所以存在x0∈(8，9)，v(x0)＝0，即x0－2lnx0－4＝0．当x∈(2，x0)时，h¢(x)＜0，h(x)单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，h¢(x)＞0，h(x)单调递增．所以当x＝x0时，h(x)的最小值h(x0)＝．因为lnx0＝，所以h(x0)＝∈(4，4.5)．故所求的整数k的最大值为4．……………16分方法二：由题意知，1+lnx－＞0对x∈(2，＋∞)恒成立．f(x)＝1+lnx－，f¢(x)＝．①当2k≤2，即k≤1时，f¢(x)＞0对x∈(2，＋∞)恒成立，所以f(x)在(2，＋∞)上单调递增．而f(2)＝1＋ln2＞0成立，所以满足要求．②当2k＞2，即k＞1时，当x∈(2，2k)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(2k，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以当x＝2k时，f(x)有最小值f(2k)＝2＋ln2k－k．从而f(x)＞0在x∈(2，＋∞)恒成立，等价于2＋ln2k－k＞0．令g(k)＝2＋ln2k－k，则g¢(k)＝＜0，从而g(k)在(1，＋∞)为减函数．因为g(4)＝ln8－2＞0，g(5)＝ln10－3＜0，所以使2＋ln2k－k＜0成立的最大正整数k＝4．20综合①②，知所求的整数k的最大值为4．………16分20．（本小题满分16分）给定一个数列{an}，在这个数列里，任取m(m≥3，m∈N*)项，并且不改变它们在数列{an}中的先后次序，得到的数列称为数列{an}的一个m阶子数列．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*，a为常数)，等差数列a2，a3，a6是数列{an}的一个3阶子数列．（1）求a的值；（2）等差数列b1，b2，…，bm是{an}的一个m(m≥3，m∈N*)阶子数列，且b1＝(k为常数，k∈N*，k≥2)，求证：m≤k＋1；（3）等比数列c1，c2，…，cm是{an}的一个m(m≥3，m∈N*)阶子数列，求证：c1＋c2＋…＋cm≤2－．解：（1）因为a2，a3，a6成等差数列，所以a2－a3＝a3－a6．又因为a2＝，a3＝，a6＝，代入得－＝－，解得a＝0．……………3分（2）设等差数列b1，b2，…，bm的公差为d．因为b1＝，所以b2≤，从而d＝b2－b1≤－＝－．………………6分所以bm＝b1＋(m－1)d≤－．又因为bm＞0，所以－＞0．即m－1＜k＋1．所以m＜k＋2．又因为m，k∈N*，所以m≤k＋1．……………9分（3）设c1＝(t∈N*)，等比数列c1，c2，…，cm的公比为q．因为c2≤，所以q＝≤．从而cn＝c1qn－1≤（1≤n≤m，n∈N*）．20所以c1＋c2＋…＋cm≤＋＋＋…＋＝[1－]＝－．…………13分设函数f(x)＝x－，（m≥3，m∈N*）．当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)＝x－为单调增函数．因为当t∈N*，所以1＜≤2．所以f()≤2－．即c1＋c2＋…＋cm≤2－．………16分20南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案A．选修4—1：几何证明选讲BADECF（第21A题图）如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB、AC分别交于点E、F．已知AD为∠BAC的平分线，求证：EF∥BC．证明：如图，连接ED．BADECF（第21A题图）因为圆与BC切于D，所以∠BDE＝∠BAD．……………………4分因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC．又∠DAC＝∠DEF，所以∠BDE＝∠DEF．所以EF∥BC．……………………10分B．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A＝，A的逆矩阵A－1＝．（1）求a，b的值；（2）求A的特征值．解：（1）因为AA－1＝＝＝．所以解得a＝1，b＝－．……………………5分（2）由（1）得A＝，则A的特征多项式f(λ)＝＝(λ－3)(λ－1)．令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝3．…………………10分C．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：(s为参数），直线l：（t20为参数）．设C与l交于A，B两点，求线段AB的长度．解：由消去s得曲线C的普通方程为y＝x2；由消去t得直线l的普通方程为y＝3x－2．……………5分联立直线方程与曲线C的方程，即解得交点的坐标分别为(1，1)，(2，4)．所以线段AB的长度为＝．……………10分D．选修4－5：不等式选讲已知x，y，z都是正数，且xyz＝1，求证：(1＋x)(1＋y)(1＋z)≥8．证明：因为x为正数，所以1＋x≥2．同理1＋y≥2，1＋z≥2．所以(1＋x)(1＋y)(1＋z)≥2·2·2＝8．因为xyz＝1，所以(1＋x)(1＋y)(1＋z)≥8．……10分22．（本小题满分10分）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2获胜的概率；（2）若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求甲队得分X的分布列及数学期望．解：（1）记甲队以3∶0，3∶1，3∶2获胜分别为事件A，B，C．由题意得P(A)＝＝，P(B)＝C··＝，P(C)＝C··＝．……………5分（2）X的可能取值为0，1，2，3．P(X＝3)＝P(A)＋P(B)＝；P(X＝2)＝P(C)＝，P(X＝1)＝C··＝，P(X＝0)＝1－P(1≤X≤3)＝．所以X的分布列为：20X0123P从而E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．答：甲队以3∶0，3∶1，3∶2获胜的概率分别为，，．甲队得分X的数学期望为．……………………10分23．（本小题满分10分）已知m，n∈N*，定义fn(m)＝．（1）记am＝f6(m)，求a1＋a2＋…＋a12的值；（2）记bm＝(－1)mmfn(m)，求b1＋b2＋…＋b2n所有可能值的集合．解：（1）由题意知，fn(m)＝所以am＝…………………2分所以a1＋a2＋…＋a12＝C＋C＋…＋C＝63．…………………4分（2）当n＝1时，bm＝(－1)mmf1(m)＝则b1＋b2＝－1．…………6分当n≥2时，bm＝又mC＝m·＝n·＝nC，所以b1+b2＋…＋b2n＝n[－C＋C－C＋C＋…＋(－1)nC]＝0．所以b1+b2＋…＋b2n的取值构成的集合为{－1，0}．…………10分20
