2022-2022学年第二学期高二年级期末考试数学（理科）试卷（时间：120分钟满分：150分）一.选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为()A．8B．10C．12D．162．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值＝（）A．1B．C．D．3．如图是某居民小区年龄在20岁到45岁的居民上网情况的频率分布直方图，现已知年龄在[30，35)，[35，40)，[40，45]的上网人数呈现递减的等差数列，则年龄在[35，40）的频率为（）A．0．04B．0．06C．0．2D．0．34．以下四个命题中①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样；②对于命题：使得.则：均有；③设随机变量,若,则；④两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数就越接近于1.其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．45．从中任取个不同的数，事件＝“取到的个数之和为偶数”，事件＝“取到的个数均为偶数”，则＝（）A．B．C．D．6．已知函数，若在区间上任取一个实数，则使成立的概率为（）A．B．C．D．7．不等式的解集是（）A．B．C．D．8．在极坐标系中有如下三个结论：①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；7\n②表示同一条曲线； ③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线。在这三个结论中正确的是（）A.①③ B.① C.②③ D.③9．圆（为参数）被直线截得的劣弧长为（）A.B.C.D.10．已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（）A.8 B.6 C.4 D.211．已知函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12．设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数为（）A．1B.2C.3D.4二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中常数项是.14.已知：,则的最小值是.15.已知函数，．若不等式的解集为R，则的取值范围是．16．在直角坐标系中,椭圆的参数方程为.在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,直线与圆的极坐标方程分别为与.若直线经过椭圆的焦点,且与圆相切,则椭圆的离心率为________________.三．解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分12分）已知点，参数，点Q在曲线C：上．7\n（1）求点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求点P与点Q之间距离的最小值．18．(本小题满分10分）已知，不等式的解集为.(1)求;(2)当时，证明：.19．(本小题满分12分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．PBECDFA（1）证明：；（2）若,求二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个.（Ⅰ）若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；（Ⅱ）若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个.记乙所得红包的总钱数为X，求X的分布列和期望.21．（本小题满分12分）设椭圆C：，F1，F2为左、右焦点，B为短轴端点，且S△BF1F2＝4，离心率为,O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程，（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M,N,且满足？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．7\n22．（本题满分12分）已知函数（1）当求的单调区间；（2）＞1时，求在区间上的最小值；（3）若使得成立，求的范围．2022-2022学年第一学期高二年级期中考试数学（理科）试卷答案一．选择题(每小题5分，共12小题，共60分)1-6．BDCBBB7-12.DDACDB二．填空题(每小题5分，共4小题，共20分)13．18014.15.16.三．解答题(共6小题，共70分)17.解(1)P的轨迹方程(x-1)2+y2=1(y≥0),………………3分曲线C的直角坐标方程为x+y=9．………………3分(2)半圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的圆心(1，0)到直线x+y=9的距离为4，因此两点距离的最小值为点到直线的距离减去圆的半径。所以｜PQ｜min=4-1．………………5分18．19．解：（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．因为为的中点，所以．又，因此．因为平面，平面，所以．而平面，平面且，所以平面．又平面，所以．……………6分（2）解法一：因为平面，平面，所以平面平面．过作于，则平面，过作于，连接，7\n则为二面角的平面角，在中，，，又是的中点，在中，，又，在中，，即所求二面角的余弦值为．……………12分PBECDFAyzx解法二：由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以，，所以．设平面的一法向量为，则因此取，则，因为，，，所以平面，故为平面的一法向量．又，所以．因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．……………12分20．解：（Ⅰ）设“甲恰得一个红包”为事件A，．………4分（Ⅱ）X的所有可能值为0，5，10，15，20．，，，，．………10分X的分布列：X05101520PE(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＋20×＝．………12分7\n21．解：（1）因为椭圆,由题意得,，，所以解得所以椭圆的方程为4分（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,因为，所以有,设，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为，解方程组得,即,则△=,即6分要使,需,即,所以,所以又,所以,所以,即或,直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,10分此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上,存在圆心在原点的圆满足条件．12分22．解：（1）当定义域2分在4分7\n（2），令，或当时，-0+极小值当时，在在，综上8分（3）由题意在区间上有解,即在上有解当时，，当时，在区间上有解令时，时，的取值范围为12分7
