数学文本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．如果事件、互斥，那么．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．1．集合，，A．B．C．D．2．是虚数单位，A．B．C．D．3．下列函数中，奇函数是A．B．C．D．图14．已知向量，，若，则A．B．C．D．5．如图1，四棱柱中，、分别是、的中点．下列结论中，正确的是A．B．平面C．D．平面6．某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是A．B．C．D．-9-\n7．若变量、满足约束条件，则的取值范围是A．B．C．D．8．将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到的曲线经过原点，则的最小值为A．B．C．D．9．下列命题中，错误的是A．在中，是的充要条件；B．在锐角中，不等式恒成立；C．在中，若，则必是等腰直角三角形；D．在中，若，，则必是等边三角形．10．设，都是定义在实数集上的函数，定义函数：，．若，，则A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．(一)必做题（11～13题）11．命题“若、都是偶数，则是偶数”的逆命题是．12．数列满足，，，则．-9-\n13．某班甲、乙两位同学升入高中以来的5次数学考试成绩的茎叶图如图，则乙同学这5次数学成绩的中位数是；已知两位同学这5次成绩的平均数都是84，成绩比较稳定的是_____________（第二个空填“甲”或“乙”）．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）图214．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线的方程是，的参数方程是（为参数），则与交点的直角坐标是．15．（几何证明选讲选做题）如图2，⊙的两条割线与⊙交于、、、，圆心在上，若，，，则．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数的最小正周期为，，是常数．⑴求的值；⑵若，，求．17．（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图3的频率分布直方图，从左到右各组的频数依次记为，，，，．⑴求图3中的值；⑵图4是统计图3中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果；-9-\n⑶从质量指标值分布在、的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标值之差大于10的概率．18．（本小题满分14分）如图5，直角梯形，，，，点为的中点，将沿折起，使折起后的平面与平面垂直（如图6）．在图6所示的几何体中：⑴求证：平面；⑵点在棱上，且满足平面，求几何体的体积．-9-\n19．（本小题满分14分）设等差数列的前项和为，且,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(2)求证:20．（本小题满分14分）设A是圆上的任意一点，是过点A与轴垂直的直线，D是直线与轴的交点，点M在直线上，且满足．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．⑴求曲线的标准方程；⑵设曲线的左右焦点分别为、，经过的直线与曲线交于P、Q两点，若，求直线的方程．21．（本小题满分14分）已知函数（是常数），曲线在点处的切线在轴上的截距为．⑴求的值；⑵，讨论直线与曲线的公共点的个数．-9-\n参考答案一、选择题二、填空题⒒若是偶数，则、都是偶数（对1句3分；表达有误适当扣分）⒓⒔，甲（若两空一对一错，给3分）⒕（若坐标符号错误给2分，其他不给分）⒖16三、解答题⒗⑴……3分（振幅1分，辅助角2分）由的最小正周期……4分，得……5分⑵由⑴知……8分（前3个等号每个1分），……9分∵，∴……10分……12分（公式1分，代入求值1分）⒘⑴依题意，……2分解得……3分⑵，，，，……6分（、、各1分）输出的……8分（列式、结果各1分）-9-\n⑶记质量指标在的4件产品为，，，，质量指标在的1件产品为，则从5件产品中任取2件产品的结果为：，，，，，，，，，，共10种……10分记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A，则事件A中包含的基本事件为：，，，共4种……11分∴……12分⒙⑴……1分，，，……3分（其他方法求值也参照给分）∵，∴（）……4分∵平面平面，平面平面，∴平面……6分⑵∵平面，平面，平面平面，∴……8分∵点为的中点，∴为的中位线……9分由⑴知，几何体的体积……11分19．解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得：解得a1＝1，d＝2.因此an＝2n－1，n∈N*.…………6分(2)，因为,-9-\n所以⒛⑴设是曲线上任意一点，则……1分，对应圆上的点为，由得……2分……3分，依题意，，……4分曲线的标准方程为……5分⑵由⑴得，，……6分①若为直线，代入得，即，……7分直接计算知，，，不符合题意……8分②若直线的斜率为，直线的方程为由得……9分设，，则，……10分由得，……11分即，……12分代入得，即……13分解得，直线的方程为……14分-9-\n21．⑴，……1分，，切线方程为……2分切线在轴上的截距……3分，解得……4分⑵由⑴得，解得，……5分+0－0+↗极大值↘极小值↗……7分记，则直线与曲线的公共点的个数即为函数零点的个数①时，，，，在至少有一个零点……9分，∵在单调递增，∴在上有且仅有一个零点……10分时，（等号当且仅当时成立）……11分，从而，在上没有零点……12分②时，，由①讨论知，（即）有两个零点。综上所述，时，直线与曲线有1个公共点，时，直线与曲线有两个公共点……14分-9-
