广东省揭阳市第一中学2022-2022学年高二数学上学期期末考试试题理一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U＝R，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则∁R(A∩B)等于( )．A．(－∞，3)∪(5，＋∞)B．(－∞，3)∪[5，＋∞)C．(－∞，3]∪[5，＋∞)D．(－∞，3]∪(5，＋∞)2．若，则下列结论不正确的是A．B．C．D．3．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则()A．B.C.D.4.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝( )A.B.C.D.5.已知如右程序框图，则输出的是()A．9B．11C．13D．6．已知是三角形的一个内角，且，则方程表示()A.焦点在轴上的椭圆B.焦点在轴上的椭圆C.焦点在轴上的双曲线D.焦点在轴上的双曲线7．方程|x|(x－1)－k＝0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（ )A.B.C.D.8．对于任意实数，符号[]表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数，例[2]=2；[]=2；[]=,这个函数[]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么的值为()8\nA．21B．76C．264D．642二、填空题(每小题5分，共30分)分数9．在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=________.10.为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为，，，由此得到频率分布直方图如右上图，则这些学生的平均分为 .11.已知，则不等式的解集是12.设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_______.13.设点为坐标原点，,且点坐标满足，则的最大值为。14.已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴的正半轴上,为焦点,为抛物线上的三点,且满足,,则抛物线的方程为.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15（本小题12分）设命题p：实数x满足，其中，命题q：实数x满足(1)若，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16（本题满分12分）已知，函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）已知，且，求的值．17．（本题满分14分）如图,在长方体ABCDA1B1C1D1E中,,点在棱AB上移动.(1)证明:;8\n(2)当为的中点时,求点到面的距离;(3)等于何值时,二面角的大小为.18．（本小题14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数)的图象，且点M到边OA距离为．（1）当时，求直路所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19．（本小题满分14分）已知如图，椭圆方程为.P为椭圆上的动点,F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M,垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知、，试探究是否存在这样的点，是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．8\n一、选择题：BABCCBDC二、填空题9.10.6411.12.413.14.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15（本小题12分）解：(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0.……1分又a>0，所以a<x<3a，……2分当a＝1时，1<x<3，即p为真命题时，实数x的取值范围是1<x<3.……3分由解得即2<x≤3.所以q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.……5分若p∧q为真，则⇔2<x<3，所以实数x的取值范围是(2,3)．……7分(2)非p是非q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，……8分设A＝{x|a<x<3a}，B＝{x|2<x≤3}，则BA.……10分所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2.所以实数a的取值范围是(1,2]．……12分16（本题满分12分）解：……2分……4分＝．……6分函数的最小正周期为．…………8分（Ⅱ）由，得．∴．……10分，∴…………11分∴∴．……………12分8\n17（本题满分14分）解:以为坐标原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系,……1分（并在答题卷中作出图像）设,则……2分ABCDA1B1C1D1E(1)……4分(2)因为为的中点,则,从而,,……5分设平面的法向量为,则……6分也即,得,从而,……8分所以点到平面的距离为……9分(3)设平面的法向量,∴……10分由……11分令,∴……12分依题意……13分∴(不合,舍去),.∴时,二面角的大小为……14分（立体几何证法按每到小题分数给分，具体步骤合理给分）18（本小题14分）8\n解：（1）……5分（2）设，……6分过切点M的切线即，……7分令得，故切线与线段AB交于点；……9分令，得，故切线与x轴交于点。……10分又在递减，所以故点在线段OC上地块OABC在切线右上部分区域为直角梯形，……12分面积，……13分当且仅当时，。……14分19（本小题满分14分）解：（1）当点P不在x轴上时，延长F1M与F2P的延长线相交于点N,连结OM∵,∴≌∴M是线段的中点，|----2分∴===∵点P在椭圆上∴＝∴＝4，--------------4分当点P在x轴上时，M与P重合∴M点的轨迹T的方程为：.----------------------6分（2）连结OE，易知轨迹T上有两个点A，B满足,8\n分别过A、B作直线OE的两条平行线、.∵同底等高的两个三角形的面积相等∴符合条件的点均在直线、上.------------------------------------7分∵∴直线、的方程分别为：、-------------------8分设点（）∵在轨迹T内，∴-----------------------9分分别解与得与-------------------------------------11分∵且∴为偶数，在上对应的在上，对应的----------------------13分∴满足条件的点存在，共有6个，它们的坐标分别为：．--------------------------------------14分8\n（2）由题设得（A）且（B）由（A）（B）得：解得（舍去）或；由，若这与矛盾，，即{是以1为首项，1为公差的等差数列，；………………………10分（3）证法（一）：运用反证法，假设则由（1）知∴，而当这与假设矛盾，故假设不成立，∴.………………………………………14分证法（二）：由得<0或结论成立；若，此时从而即数列{}在时单调递减，由，可知上成立.…………………………14分8
