2022年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）第21题另解广东省惠东高级中学陈必禄(cbl069@126.com)21．（本小题满分14分）已知函数（其中为自然对数的底数）．（1）求函数的单调区间；（2）定义：若函数在区间上的取值范围为，则称区间为函数的“域同区间”．试问函数在上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．21．解：（1）因为，（苏元高考吧：www.gaokao8.net）所以．------------------1分当或时，，即函数的单调递增区间为和．当时，，即函数的单调递减区间为．所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．-----------3分（2）(官方答案)解法1：假设函数在上存在“域同区间”，----------4分由（1）知函数在上是增函数，所以即-----------------------------------5分也就是方程有两个大于1的相异实根．-----------------------------------4/46分设，则．-----------------------------------7分设，则．-----------------------------------8分因为在上有，所以在上单调递增．------------------------------9分因为，，即存在唯一的，使得．-----------------------------------10分当时，，即函数在上是减函数；当时，，即函数在上是增函数．-------------11分因为，，，所以函数在区间上只有一个零点．-----------------------------------12分这与方程有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立．----------------13分所以函数在上不存在“域同区间”．-----------------------------------14分（2）假设函数在上存在“域同区间”，----------------4分由（1）知函数在上是增函数，所以即-----------------------------------5分也就是方程有两个大于1的相异实根．-----------------------------------6分4/4（本人提供）解法2：由得有两个大于1的相异实根，由于，故，上为增函数，方程在至多有一个实数根，在区间上至多有一个零点．这与方程有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立．所以函数在上不存在“域同区间”．4/4（2）假设函数在上存在“域同区间”，----------4分由（1）知函数在上是增函数，所以即（本人提供）解法3：变形得，由于从而产生矛盾。所以假设不成立．所以函数在上不存在“域同区间”．（解法2，3为本人一点点教学想法，仅供大家借鉴，谢谢）更多试题下载：（在文字上按住ctrl即可查看试题）高考模拟题：高考各科模拟试题【下载】历年高考试题：历年高考各科试题【下载】高中试卷频道：高中各年级各科试卷【下载】高考资源库：各年级试题及学习资料【下载】点击此链接还可查看更多高考相关试题【下载】4/4
