广东省肇庆联盟校2022-2022学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|−1≤x≤2}，B={y|y=2x,x∈R}，则A∩B=( )A.⌀B.{x|−1≤x<1}C.{x|1<x≤2}D.{x|0<x≤2}【答案】D【解析】解：∵集合A={x|−1≤x≤2}，B={y|y=2x,x∈R}={y|y>0}，∴A∩B={x|0<x≤2}．故选：D．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.函数y=1ln(x−1)的定义域为( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪[3，+∞)【答案】C【解析】解：要使函数y=1ln(x−1)有意义则x−1>0ln(x−1)≠0解得x>1且x≠2∴函数y=1ln(x−1)的定义域为(1,2)∪(2,+∞)故选：C．根据分式的分母不为0，对数的真数大于0，建立关系式，解之即可．本题考查函数定义域的求解，属基础题，做这类题目的关键是找对自变量的限制条件．3.运行如图所示的程序，若输出y的值为2，则可输入实数x值的个数为( )A.0B.1C.2D.311/12\n【答案】B【解析】解：模拟程序运行，可得程序的功能是求y=2xx≤0−x3+3xx>0的值，故x≤0时，2=2x，解得：x=1(舍去)；x>0时，2=−x3+3x，解得：x=−2(舍)，或x=1，综上，可得可输入x的个数为1．故选：B．模拟程序运行，可得程序的功能是求y=2xx≤0−x3+3xx>0的值，分类讨论即可得可输入x的个数．本题的考点是函数零点几何意义和用导函数来画出函数的图象，考查了数学结合思想和计算能力，属于基础题．1.一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为( )A.−0.9B.0.9C.3.4D.4.3【答案】B【解析】解：设20个数分别为x1，x2，…，x20，求出的平均数为x=x1+x2+…+x19+8620，实际平均数x′=x1+x2+…+x19+6820，∴求出的平均数与实际平均数的差：x−x′=86−6820=0.9．故选：B．求出的平均数与实际平均数的差：x−x′=86−6820，由此能求出结果．本题考查求出的平均数与实际平均数的差的求法，考查平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.已知函数f(x)=3x(x≤0)log2x(x>0)，那么f[f(14)]的值为( )A.9B.19C.−9D.−19【答案】B【解析】解：∵14>0，∴f(14)=log214=log22−2=−2，而−2<0，∴f(−2)=3−2=19．∴f[f(14)]=19．故选：B．11/12\n首先判断自变量是属于哪个区间，再代入相应的解析式，进而求出答案．正确理解分段函数在定义域的不同区间的解析式不同是解题的关键．1.某单位有职工160人，其中业务员104人，管理人员32人，其余为后勤服务人员，现用分层抽样方法从中抽取一容量为20的样本，则抽取后勤服务人员( )A.3人B.4人C.7人D.12人【答案】A【解析】解：根据分层抽样原理知，应抽取后勤服务人员的人数为：20×160−104−32160=3．故选：A．根据分层抽样原理求出应抽取的后勤服务人数．本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．2.已知函数f(x)=logax,x≥a3a−x,x<a，若对任意实数x1，x2且x1≠x2都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0成立，则实数a的取值范围是( )A.[12,1)B.(12,1)C.(1,+∞)D.[12,+∞)【答案】A【解析】解：根据题意，f(x)满足对任意实数x1，x2且x1≠x2都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0成立，则函数f(x)为减函数，又由f(x)=logax,x≥a3a−x,x<a，则有logax≤3a−a0<a<1，解可得12≤a<1，即a的取值范围为[12,1)；故选：A．根据题意，分析可得函数f(x)为减函数，结合函数的解析式可得logax≤3a−a0<a<1，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性的判定以及应用，涉及分段函数的应用，关键是掌握函数单调性的定义．3.函数y=π(2a−3)−x23的部分图象大致是如图所示的四个图象中的一个，根据你的判断，a可能的取值是( )11/12\nA.12B.32C.2D.4【答案】D【解析】解：函数为偶函数，图象关于原点对称，排除①②，又指数型函数的函数值都为正值，排除④，故函数的图象只能是③，当x>0时，函数为减函数，则2a−3>1，得a>2，故只有4满足故选：D．根据函数奇偶性和单调性的性质先确定对应的图象，然后结合指数函数的图象特点确定底数的大小即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数值的符号确定对应的图象是解决本题的关键．1.一直以来，由于长江污染加剧以及滥捕滥捞，长江刀鱼产量逐年下降.为了了解刀鱼数量，进行有效保护，某科研机构从长江中捕捉a条刀鱼，标记后放回，过了一段时间，再从同地点捕捉b条，发现其中有c条带有标记，据此估计长江中刀鱼的数量为( )A.acbB.a+b−cC.bcaD.abc【答案】D【解析】解：设长江中刀鱼的数量为x条，根据随机抽样的等可能性，得：ax=cb，解得x=abc．故选：D．设长江中刀鱼的数量为x条，根据随机抽样的等可能性，列出方程能求出结果．本题考查长江中刀鱼的数量的估计，考查随机抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.已知偶函数f(x)在区间(−∞,0]上是单调递增函数，若f(lgm)>f(−1)，则实数m的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,10)C.(110,10)D.(0,110)∪(10,+∞)11/12\n【答案】C【解析】解：偶函数f(x)在区间(−∞,0]上是单调递增函数，则在(0,+∞)上为减函数，若f(lgm)>f(−1)，则|lgm|<1，即−1<lgm<1，求得110<m<10，故选：C．由题意利用函数的奇偶性和单调性可得−1<lgm<1，由此求得实数m的取值范围．本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．1.如图程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1D.A≤1000和n=n+2【答案】D【解析】解：因为要求A>1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A>1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．通过要求A>1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A>1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．2.已知函数f(x)=x|x−a|+(a−1)x−1，a>0，若方程f(x)=1有且只有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为( )A.(0,2)B.(1+222,+∞)C.(1+222,2)D.(0,1+222)11/12\n【答案】C【解析】解：①当x≥a时，方程可化为x2−x−2=0，解得：x=2或x=−1，又a>0，所以当0<a≤2时，此时方程有一个实数根，②当x<a时，方程可化为x2+(1−2a)x+2=0，由题意有此方程必有两不等实数根，设g(x)=x2+(1−2a)x+2 (x<a)，由二次方程区间根问题有：(1−2a)2−8>0−1−2a2<ag(a)>0，解得：−1<a<1−222或1+222<a<2，综合①②可得：实数a的取值范围为：1+222<a<2，故选：C．含参、含绝对值的二次函数的解的个数问题先通过讨论：①当x≥a时，②当x<a时去绝对值符号，再结合区间根问题求解二次方程的根的个数即可．本题考查了含参、含绝对值的二次函数的解的个数问题及区间根问题，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知函数f(10−3x)=log2(x2−1)，那么f(1)=______．【答案】3【解析】解：由10−3x=1得3x=9，x=3，即f(1)=f(10−3×3)=log2(32−1)=log28=3，故答案为：3由10−3x=1，求出x=3，直接代入即可．本题主要考查函数值的计算，根据函数解析式直接转化是解决本题的关键．2.《少年中国说》是清朝末年梁启超所作的散文，写于戊戌变法失败后的1900年，文中极力歌颂少年的朝气蓬勃，其中“少年智则国智，少年富则国富；少年强则国强，少年独立则国独立”等优秀文句激励一代又一代国人强身健体、积极竞技.2022年，甲、乙、丙、丁四人参加运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表：甲乙丙丁平均环数x8.58.88.88方差s23.53.52.18.5则参加运动会的最佳人选应为______．【答案】丙11/12\n【解析】解：从表格中可以看出乙和丙的平均成绩优于甲和丁的平均成绩，但是两的成绩发挥的最稳定，故最佳人选应该是丙．故答案为：丙．从表格中可以看出乙和丙的平均成绩优于甲和丁的平均成绩，但是两的成绩发挥的最稳定．本题考查最佳人选的判断，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．1.某汽车4S店销售甲品牌A型汽车，在2022年元旦期间，进行了降价促销活动，根据以往数据统计，该型汽车的价格与月销售量之间有如下关系：价格(万元)2523.52220.5销售量(辆)30333639已知A型汽车的销售量y与价格x符合线性回归方程：y∧=bx∧+80，若A型汽车价格降到19万元，预测它的销售量大约是______辆.【答案】42【解析】解：由图表可得，x=25+23.5+22+20.54=22.75，y=30+33+36+394=34.5．代入线性回归方程y∧=bx∧+80，得b=−2．∴y∧=−2x∧+80，当x=19时，y=42．∴预测它的销售量大约是42辆．故答案为：42．由已知求得x,y，代入线性回归方程求得b，得到线性回归方程，取x=19求得y值得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．2.已知函数f(x)=a(x2+2x)+2x+1+2−x−1(a∈R)有唯一零点，则f(a)=______．【答案】1938【解析】解：y=x2+2x与y=2x+1+2−x−1的图象均关于直线x=−1对称，∴y=f(x)的图象关于直线x=−1对称，∴f(x)的唯一零点必为−1，∴f(−1)=0，a=2，f(a)=f(2)=1938．故答案为：1938．判断函数y=x2+2x与11/12\ny=2x+1+2−x−1的图象的对称性，结合函数的对称性进行判断即可．本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件判断函数的对称性是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）1.已知集合A={x|−1<x<2}，B={x|k<x<2−k}．(Ⅰ)当k=−1时，求A∪B；(Ⅱ)若A∩B=B，求实数k的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)当k=−1时，B={x|−1<x<3}，则A∪B={x|−1<x<3}，.……………………(4分)(Ⅱ)∵A∩B=B，则B⊆A.………………………………………………………………(5分)(1)当B=⌀时，k≥2−k，解得k≥1； ……………………………………………(8分)(2)当B≠⌀时，由B⊆A得k<2−kk≥−12−k≤2，即k<1k≥−1k≥0，解得0≤k≤1. ………(11分)综上，k≥0. ……………………………………………………………………………(12分)【解析】(Ⅰ)直接根据并集的定义即可求出(2)由A∩B=B，得B⊆A，由此能求出实数k的取值范围．本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.计算下列各式的值：(1)(0.064)−13+[(−2)2]−32+16−34+0.2512+(43)−1；(2)log222+2lg5+lg4+71−log72．【答案】解：(1)原式=(641000)−13+2−3+2−3+0.5+34=52+18+18+12+34=4；(2)原式=log22−12+2(lg5+lg2)+72=−12+2+72=5．【解析】(1)进行分数指数幂的运算即可；(2)进行对数的运算即可．考查分数指数幂和对数的运算，以及对数的运算性质．3.已知f(x)=a⋅2x+a−12x+1(a∈R)是奇函数．(1)求a的值并判断f(x)的单调性，无需证明；(2)若对任意m∈[14,2]，不等式f((log2m)2)+f(k+2log2m)<0恒成立，求实数k的取值范围．【答案】解：(1)∵f(x)=a⋅2x+a−12x+1(a∈R)是奇函数，定义域为R，∴f(0)=a+a−11+1=0，解得a=12，11/12\n验证：∵f(x)=12(2x−1)2x+1=2x−12(2x+1)，∴f(−x)=2−x−12(2−x+1)=−2x−12(2x+1)=−f(x)，即f(x)为奇函数，∴f(x)=2x−12(2x+1)=12−12x+1，∴f(x)在R上为增函数，(2)∵对任意m∈[14,2]，不等式f((log2m)2)+f(k+2log2m)<0恒成立，∴f((log2m)2)<−f(k+2log2m)=f(−k−2log2m)，∵f(x)在R上为增函数，∴(log2m)2<−k−2log2m，∴−k>(log2m)2+2log2m，即对任意m∈[14,2]，−k>(log2m)2+2log2m恒成立，令t=log2m，∵m∈[14,2]，∴t∈[−2,1]，∴−k>t2+2t=(t+1)2−1，对于y=(t+1)2−1，当t=1时取最大值，最大值为3，∴−k>3，∴k<−3，故实数k的取值范围为(−∞,−3)．【解析】(1)由奇函数的性质可得，在判断函数的单调性；(2)利用f(x)的奇偶性和单调性，将不等式转化为：−k>t2+2t=(t+1)2−1在t∈[−2,1]上恒成立，然后转化为最值，最后构造函数求出最大值即可．本题考查了奇偶函数定义、函数的单调性、恒成立问题转化为最值、二次函数求最值.属中档题．1.张先生和妻子李女士二人准备将家庭财产100万元全部投资兴办甲、乙两家微型企业，计划给每家微型企业投资50万元，张先生和妻子李女士分别担任甲、乙微型企业的法人.根据该地区以往的大数据统计，在10000家微型企业中，若干年后，盈利60%的有5000家，盈利30%的有2x家，持平的有2x家，亏损10%的有x家．(1)求x的值，并用样本估计总体的原理计算：若干年后甲微型企业至少盈利30%的可能性(用百分数示)；(2)张先生加强了对企业的管理，预计若干年后甲企业一定会盈利60%，李女士由于操持家务，预计若干年后盈利情况与该地区以往的大数据统计吻合.求若干年后李女士拥有的家庭财产数量的期望值(婚姻期间财产各占一半)．11/12\n【答案】解：(1)∵2x+2x+x=5000，∴x=1000，用样本估计总体计算得：若干年后甲微型企业至少盈利30%的可能性为：0.5+0.2=70%．(2)由题意得若干年后，两人家庭财产的总数量为：[0.5×(50×1.6)+0.2×(50×1.3)+0.2×50+0.1×(50×0.9)]+(50×1.6)=147.5(万元)．由于婚姻期间家庭财产为共同财产，∴若干年后李女士拥有的家庭财产数量的期望值(婚姻期间财产各占一半)为：147.52=73.75(万元)．【解析】(1)由2x+2x+x=5000，求出x=1000，用样本估计总体，能求出若干年后甲微型企业至少盈利30%的可能性．(2)由题意求出若干年后，两人家庭财产的总数量，由此能求出若干年后李女士拥有的家庭财产数量的期望值．本题考查实数值、至少盈利30%的可能性、期望值的求法，考查用样本特征估计总体特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．1.当今的学校教育非常关注学生身体健康成长，某地安顺小学的教育行政主管部门为了了解小学生的体能情况，抽取该校二年级的部分学生进行两分钟跳绳次数测试，测试成绩分成[50,75)，[75,100)，[100,125)，[125,150]四个部分，并画出频率分布直方图如图所示，图中从左到右前三个小组的频率分别为0.1，0.3，0.4，且第一小组(从左向右数)的人数为5人．(1)求第四小组的频率；(2)求参加两分钟跳绳测试的学生人数；(3)若两分钟跳绳次数不低于100次的学生体能为达标，试估计该校二年级学生体能的达标率.(用百分数表示)【答案】解：(1)第四小组的频率为：1−0.1−0.3−0.4=0.2．(2)设参加两分钟跳绳测试的学生有x人，则0.1x=5，解得x=50，∴参加两分钟跳绳测试的学生人数为50人．(3)由题意及频率分布直方图知：样本数据参加两分钟跳绳次数测试体体能达标率为：0.4+0.2=0.6，∴估计该校二年级学生体能的达标率为60%．11/12\n【解析】(1)由频率分布直方图能求出第四小组的频率．(2)设参加两分钟跳绳测试的学生有x人，则0.1x=5，由此能求出参加两分钟跳绳测试的学生人数．(3)由题意及频率分布直方图知样本数据参加两分钟跳绳次数测试体体能达标率为0.4+0.2=0.6，由此能估计该校二年级学生体能的达标率．本题考查频率、频数、达标率的求法，考查频率分布直图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．1.已知函数f(x)=x2−2tx+t2−6t+1(x∈[−12,1])，其最小值为g(t)．(1)求g(t)的表达式；(2)当t>1时，是否存在k∈R，使关于t的不等式g(t)<kt有且仅有一个正整数解，若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)函数f(x)=x2−2tx+t2−6t+1(x∈[−12,1])的对称轴为x=t，当t≤−12时，区间[−12,1]为增区间，可得g(t)=f(−12)=t2−5t+54；当−12<t<1，可得g(t)=f(t)=−6t+1；当t≥1时，区间[−12,1]为减区间，可得g(t)=f(1)=t2−8t+2．则g(t)=t2−5t+54,t≤−121−6t,−12<t<1t2−8t+2,t≥1；(2)当t>1时，g(t)<kt即t2−8t+2<kt，可得k>t+2t−8，令m(t)=t+2t(t>1)，m′(t)=1−2t2，可得m(t)在(1,2)递减，在(2,+∞)递增，m(t)在t>1的图象如右图：m(1)=m(2)=3，m(3)=113，由图可得3<k+8≤113，即−5<k≤−133，关于t的不等式g(t)<kt有且仅有一个正整数解2，所以k的范围是(−5,−133].【解析】(1)求得f(x)的对称轴，讨论对称轴x=t和区间的关系，结合单调性可得最小值；(2)由题意可得k>t+2t−8，令m(t)=t+2t(t>1)，求得单调性，画出图象，可得整数解211/12\n，即可得到所求范围．本题考查二次函数的最值求法，注意运用对称轴和区间的关系，考查不等式有解的条件，注意运用参数分离和对勾函数的单调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题．11/12
