山西省康杰中学等四校2022届高三数学第二次联考考试题 文（含解析）

山西省康杰中学等四校2022届高三数学第二次联考考试题文（含解析）【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识为载体，以基本能力测试为主导，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、复数、导数、函数模型、函数的性质、三角函数，数列，椭圆，立体几何等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份比较好的试卷.一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)【题文】1.已知集合，集合，则等于A．B．C．D．【知识点】集合及其运算A1【答案】C【解析】A=，B=，则=【思路点拨】先求出A,B再求交集。【题文】2.已知复数(为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案】B【解析】=-1-i,则复数=-1+I=i,对应的点在第二象限.【思路点拨】先化简z,再求出象限。【题文】3.已知数列满足,，则数列的前项和为A．B．C．D．【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案】D【解析】，则，数列{}为等比数列，公比为，=-3=。【思路点拨】先跟据递推式确定数列为等比数列，确定公比，进而求得首项，利用等比数列的求和公式求得答案。14【题文】4.已知函数，若，则实数的取值范围是A．B．C．D．【知识点】二次函数B5【答案】A【解析】由，，【思路点拨】先求出函数关系再求a的范围。【题文】5．已知命题：，，命题：，则下列命题为真命题的是A.B．C．D．【知识点】命题及其关系A2【答案】C【解析】命题：，，为假命题，命题：，，为真命题，所以为真命题。【思路点拨】先判断命题p,q真假,再求结果。【题文】6．执行如图所示的程序框图，输出的值为A.B．C．D．i=结束开始是否输出i<13？【知识点】算法与程序框图L1【答案】B【解析】从，开始s=1,i=3,s=4,i=5,s=9,i=7,s=16,i=9,s=25,i=11,s=36,i=13输出结果。【思路点拨】根据所给条件逐个循环得到。【题文】7．已知向量满足，，，则与的夹角为A．B．C．D．【知识点】平面向量的数量积及应用F3【答案】D14【解析】由，，=cos,则cos=-,=.【思路点拨】根据数量积的关系求出角。【题文】8.已知圆,抛物线的准线为,设抛物线上任意一点到直线的距离为,则的最小值为A．B．C．D．【知识点】抛物线及其几何性质H7【答案】A【解析】由题意得圆的方程为(x+3)2+(y+4)2=4,圆心C的坐标为(-3,-4).由抛物线定义知,当m+|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离,即m+|PC|==.【思路点拨】由抛物线定义知,当m+|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离,即m+|PC|==.【题文】9．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系是A．B．C．D．【知识点】函数与方程B9【答案】D【解析】由题意，函数f（x）=3x+x，g（x）=x+log3x，h（x）=log3x-的零点即方程3x+x=0，x+log3x=0，log3x-=0的根；易知方程3x+x=0的根小于0，方程x+log3x=0的根在（0，1）上，方程log3x-=0的根大于1，故x3＞x2＞x1。【思路点拨】函数f（x）=3x+x，g（x）=x+log3x，h（x）=log3x-的零点即方程3x+x=0，x+log3x=0，log3x-=0的根；从而比较大小．【题文】10.已知是第二象限角,,函数的图像关于直线对称,则A．B.14C.D.【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】C【解析】：∵α是第二象限角，sinα=，∴cosα=-=-，∴f（x）=sinαcosx+cosαcos（-x）=sinαcosx+cosαsinx=sin（α+x）关于直线x=x0对称，得到α+x0=kπ+，即x0=kπ+-α，则tanx0=tan（kπ+-α）=cotα==-．【思路点拨】由α为第二象限角，根据sinα的值，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，得到cotα的值，根据函数f（x）关于直线x=x0对称，确定出x0，代入tanx0，利用诱导公式化简，将cotα的值代入计算即可求出值．【题文】11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．B.C.D.（第9题图）正视图侧视图俯视图2221【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】C【解析】根据三视图还原几何体S=++++=。【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个面的面积再求和。【题文】12.已知函数，则方程的根的个数不可能为A．B．C．D．【知识点】函数与方程B914【答案】A【解析】f（2x2+x）=；作其图象如下，故方程f（2x2+x）=a（a＞0）的根的个数可能为4，5，6。【思路点拨】由题意化简f（2x2+x）=；作图象求解．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)【题文】13.已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为_______.【知识点】双曲线及其几何性质H6【答案】或【解析】由题意可得，当焦点在x轴上时，，∴==。当焦点在y轴上时，∴==。【思路点拨】双曲线的渐近线方程为y=±x，知双曲线的标准方程，由此能求出此双曲线的离心率．【题文】14.点满足不等式，，则的最大值为________.【知识点】简单的线性规划问题E5【答案】1【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）14设z=x+y，则y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点A（0，1）时，直线的截距最大，此时z最大．代入z=x+y得z=0+1=1．即x+y的最大值为1．【思路点拨】作出不等式对应的平面区域，设z=x+y，利用z的几何意义求z的最大值．【题文】15.已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为________.【知识点】多面体与球G8【答案】6π．【解析】如图：∵AD=2，AB=1，，满足AD2+AB2=SD2∴AD⊥AB，又AD⊥BC，BC∩AB=B，∴AD⊥平面ABC，∵AB=BC=1，，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面DAB，∴CD是三棱锥的外接球的直径，∵AD=2，，∴CD=，∴三棱锥的外接球的表面积为4π（）2=6π．【思路点拨】根据勾股定理可判断AD⊥AB，AB⊥BC，从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形，求出三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积．【题文】16.已知定义在上的函数满足：①对于任意的，都有；②函数是偶函数；③当时，，则14，，从小到大的排列是______.【知识点】函数的单调性与最值B3【答案】f(-)＜)＜f()【解析】由题意，=f（x-1）；故函数y=f（x）为周期为2的函数；f(-)=f（）；=f（8-）=f（-）=f（），f()=f（6-）=f（）；∵当x∈（0，1]时，f（x）=xex是增函数，故f（）＜f（）＜f（）；即f(-)＜)＜f()；【思路点拨】由题意可得函数y=f（x）为周期为2的函数，从而可得f(-)=f（），=f（8-）=f（-）=f（），f()=f（6-）=f（）；利用单调性求解．三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)【题文】17.(本小题满分12分)在公差不为的等差数列中，已知，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【知识点】单元综合D5【答案】（1）（2）【解析】（1）设数列的公差为，由题知，，，即，又，，（2），①14②①-②得【思路点拨】由题知，，，.①②得结果。【题文】18.(本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.（1）证明:平面;（2）设,,求点到平面的距离.PABCDE【知识点】空间中的垂直关系,空间角与距离的求法G5G11【答案】（1）略（2）【解析】（1）连结BD交AC与点O，连结EO∵底面ABCD为矩形∴O为BD的中点又∵E为PD的中点,∴OE为△PBD的中位线，则OE∥PB又，∴PB∥平面AEC（2）∵PB∥平面AEC∴P到平面AEC与B到平面AEC的距离相等∴VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC又S△ABC=,且E到平面ABC的距离为14AC=2，EC=，AE=1，∴S△AEC=设P到平面AEC的距离为，则，可得=∴P到平面AEC的距离为【思路点拨】OE∥PB,∴PB∥平面AEC,VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC，求出体积。【题文】19.(本小题满分12分)已知向量，，设函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，边分别是角的对边，角为锐角，若，，的面积为，求边的长.【知识点】单元综合C9【答案】（1）（2）5【解析】（1）由，得∴的单调递增区间为（2）∴又A为锐角，∴，S△ABC=，∴，则∴14【思路点拨】由，得S△ABC=，∴，则∴【题文】20.(本小题满分12分)已知动圆过定点，且与圆:相切，点的轨迹为曲线，设为曲线上(不在轴上)的动点，过点作（为坐标原点）的平行线交曲线与两点.（1）求曲线的方程；（2）是否存在常数，使总成立？若存在，求；若不存在，说明理由.【知识点】椭圆及其几何性质H5【答案】(1)（2）【解析】(1)∵在圆B的内部∴两圆相内切，所以，即∴C点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且长轴长，，，∴曲线T的方程为：（2）当直线MN斜率不存在时，,∴，则当直线MN斜率存在时，设，，MN:，则OQ:，由得，则，∴14由得，则，∴，由可解得。综上，存在常数，使总成立。【思路点拨】由得，得结果。【题文】21.(本小题满分12分)设函数（）.（1）若函数在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围；（2）设，且，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【知识点】导数的应用B12【答案】（1）[1，+∞)（2）(,+∞).【解析】（1）f′(x)=p＋－=，依题意，f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立，只需px2－2x＋p≥0在(0,+∞)内恒成立，只需p≥在(0,+∞)内恒成立，只需p≥（）max=1，故f(x)在其定义域内为单调递增函数时，p的取值范围是[1，+∞)。（应该验证时，符合题意，此题不验证也不扣分）（2）依题意，f(x)－g(x)>0在[1,e]上有解，设h(x)=f(x)－g(x)=px－－2lnx－,x∈[1,e]，h′(x)=p＋－＋=，14因为x∈[1,e]，p>0，所以h′(x)>0在[1,e]上恒成立，所以h(x)在[1,e]上是增函数，所以hmax(x)=h(e)=p(e－)－4,依题意，要h(x)>0在[1,e]有解只需hmax(x)>0，所以p(e－)－4>0解得p>，所以p的取值范围是(,+∞).【思路点拨】只需p≥（）max=1，故f(x)在其定义域内为单调递增函数时，p的取值范围是[1，+∞)。要h(x)>0在[1,e]有解只需hmax(x)>0，所以p(e－)－4>0,解得p>，所以p的取值范围是(,+∞).请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．【题文】22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，边AB上的高，（1）证明：、、、四点共圆；（2）若，，求的长.【知识点】选修4-1几何证明选讲N1【答案】(1)略（2）6【解析】(1)证明:连接QP，由已知C、P、F、Q四点共圆，,=,则四点A、B、P、Q共圆.（2）,直角三角形CPF中，CP===又CPCB=,CB==614【思路点拨】由=，,则四点A、B、P、Q共圆.（2）CPCB=,CB==6【题文】23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数.（1）写出曲线的参数方程；（2）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值．【知识点】选修4-4参数与参数方程N3【答案】（1）（2）或.【解析】（1）由得（2）将代入圆的方程得，化简得.设、两点对应的参数分别为、,则,,,,或.【思路点拨】（1）由得求出结果。【题文】24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数（1）解不等式；（2）对任意，都有成立，求实数的取值范围.【知识点】选修4-5不等式选讲N4【答案】（1）{|6}（2）-2或414【解析】（1）-2当时，,即，∴；当时，,即,∴当时，,即,∴16综上，{|6}（2）函数的图像如图所示：43xy令，表示直线的纵截距，当直线过(1,3)点时，；∴当-2，即-2时成立；当，即时，令，得,∴2+,即4时成立，综上-2或4。【思路点拨】当时，,即,∴当时，,即,∴16,综上，{|6}当-2，即-2时成立；当，即时，令，得,∴2+,即4时成立，综上-2或4。14