山东省烟台市莱州一中等2022届高三数学上学期期末考试题 理（含解析）新人教A版

山东省烟台市莱州一中等2022届高三数学上学期期末考试题理（含解析）新人教A版【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识为载体，以基本能力测试为主导，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、复数、导数、函数模型、函数的性质、命题，数列，立体几何等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份比较好的试卷一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上.【题文】1.已知集合，集合，则A.B.C.D.【知识点】集合及其运算A1【答案】D【解析】M=,N=,则.【思路点拨】先求出M,N再求结果。【题文】2.若函数则的值为A.2B.3C.4D.5【知识点】函数及其表示B1【答案】B【解析】由题意得f(2)=f(2+2)=f(2+4)=6-3=3。【思路点拨】由f(2)=f(2+2)=f(2+4)=6-3=3。【题文】3.将函数的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到函数解析式为A.B.C.D.【知识点】函数的图象与性质C4【答案】C【解析】设f（x）=sin(2x-)，可得y=f（x）的图象向右平移，得到f（x-）=sin[2(x-)-]=sin(2x-)的图象，再将所得的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得f（x-）=sin(x-)=-cosx的图象．∴函数y=sin(2x-)的图象按题中的两步变换，最终得到的图象对应函数解析式为y=-cosx，-12-\n【思路点拨】根据三角函数图象变换的公式，结合诱导公式进行化简，可得两次变换后所得到的图象对应函数解析式．【题文】4.如右图放置的六条棱长都相等的三棱锥，则这个几何体的侧视图是A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.无两边相等的三角形【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】A【解析】因为六条棱长都相等的三棱锥，分析易得这个几何体的侧视图是等腰三角形。【思路点拨】由三视图的性质得。【题文】5.已知的重心为G，角A，B，C所对的边分别为，若，则A.1:1:1B.C.D.【知识点】单元综合F4【答案】D【解析】设a，b，c为角A，B，C所对的边，由，则2a+=-3c=-3c(--)，即（2a-3c）+(b-3c)=，又因∵，不共线，则2a-3c=0，b-3c=0，即2a=b=3c.所以【思路点拨】利用正弦定理化简已知表达式，通过，不共线，求出a、b、c的关系，利用余弦定理求解即可．【题文】6.某次数学摸底考试共有10道选择题，每道题四个选项中有且只有一个选项是正确的；张三同学每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P，则下列数据中与P的值最接近的是A.B.C.D.【知识点】单元综合K9【答案】B【解析】由题意知本题是一个独立重复试验，试验发生的次数是10，选题正确的概率是由题意知本题是一个独立重复试验，试验发生的次数是10，选题正确的概率是-12-\n该同学至少答对9道题包括答对9道题或答对10道题，根据独立重复试验的公式得到该同学至少答对9道题的概率为P=C910•（）9•（）+C1010•（）10≈3×10-5．该同学至少答对9道题包括答对9道题或答对10道题，根据独立重复试验的公式得到该同学至少答对9道题的概率为P=C910•（）9•（）+C1010•（）10≈3×10-5．【思路点拨】由题意知本题是一个独立重复试验，试验发生的次数是10，选题正确的概率是，该同学至少答对9道题包括答对9道题或答对10道题，根据独立重复试验的公式得到概率．【题文】7.在的展开式中，项的系数是项系数和项系数的等比中项，则实数的值为A.B.C.D.【知识点】二项式定理J3【答案】A【解析】展开式的通项为：Tr+1=C7r（ax）7-r∴x3项的系数是C74a3，x2项的系数是C75a2，x5项的系数是C72a5∵x3项的系数是x2的系数与x5项系数的等比中项∴（C74a3）2=C75a2×C72a5∴a=【思路点拨】先写成展开式的通项，进而可得项的系数，利用x3项的系数是x2的系数与x5项系数的等比中项，可建立方程，从而求出a的值．【题文】8.已知函数（其中），若，则在同一坐标系内的大致图象是【知识点】函数的图像B8【答案】B【解析】由题意得若f(x)为增函数则x>0也为增函数，则A错误，同理D也错误，C选项中交点错误，故选A。【思路点拨】由函数的增减性得。【题文】9.已知双曲线的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则抛物线方程为A.B.C.D.-12-\n【知识点】单元综合H10【答案】C【解析】双曲线的焦点到其渐近线的距离等于2,b=2，，把x=-,代入得4=2，联立求得p=4.故。【思路点拨】，4=2联立求解。【题文】10.定义域是R上的函数满足，当时，若时，有解，则实数t的取值范围是A.B.C.D.【知识点】函数的单调性与最值B3【答案】B【解析】当x∈时，f（x）=x2-x∈[-，0],当x∈时，f（x）=-∈∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为-,又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），∴f（x）=f（x+2），当x∈[-2，0）时，f（x）的最小值为-，当时，f（x）的最小值为-，若时，f（x）≤有解，∴即≥fmin（x）=-，即4t（t+2）（t-1）≥0且t≠0,解得：t∈[-2，0）∪[1，+∞），【思路点拨】若若x∈[-4，-2）时，有解，等价为≥fmin（x），根据条件求出fmin（x），即可得到结论．二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡的相应位置.【题文】11.抛物线处的切线与抛物线以及轴所围成的曲边图形的面积为【知识点】定积分与微积分基本定理B13【答案】【解析】由题意由，在x=2处k=4,切线方程为y-4=4(x-2),S=-2=-12-\n【思路点拨】根据导数求切线方程，再根据积分求结果。【题文】12.已知函数的最大值为3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】4030【解析】∵函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1=A•+1=cos（2ωx+2φ）+1+ （A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，∴+1+=3，∴A=2．根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即=4，∴ω=．再根据f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得cos（2φ）+1+1=2，∴cos2φ=0，2φ=，∴φ=．故函数的解析式为f（x）=cos（x+）+2=-sinx+2，∴f（1）+f（2）+…+f（2022）=-（sin+sin+sin+…+sin）+2×2022=4030【思路点拨】由条件利用二倍角的余弦公式可得f（x）=cos（2ωx+2φ）+1+，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所求式子的值．【题文】13.设满足约束条件若目标函数的最大值为10，则的最小值为【知识点】简单的线性规划问题E5【答案】5【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，-12-\n当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大10，即4a+6b=10，即2a+3b=5，而=()=+()≥+=5，故最小值为5．【思路点拨】已知2a+3b=5，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答．【题文】14.已知过点且斜率为k的直线与圆相交于P、Q两点，则的值为【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4【答案】7【解析】∵直线PQ过点A（1，0），∴设PQ的直线方程为y=k（x-1），代入，消y得（1+k2）x2+x+k2+16k+12=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∴=（x1-1，y1）•（x2-1，y2）=（x1-1）（x2-1）+y1y2=（x1-1）（x2-1）+k（x1-1）k（x2-1）=（1+k.k）[x1x2-（x1+x2）+1]=（1+k）[-+1]=7【思路点拨】设PQ的直线方程为y=k（x-1），代入，利用韦达定理和平面向量数量积的运算能求出．【题文】15.给出下列结论：①函数在区间上有且只有一个零点；-12-\n②已知l是直线，是两个不同的平面.若；③已知表示两条不同直线，表示平面.若；④在中，已知，在求边c的长时有两解.其中所有正确结论的序号是：【知识点】命题及其关系A2【答案】①④【解析】①求导数得（0，+）增函数且f(e).f(3)<0,正确。②l有可能平行，n有可能在平面内，根据余弦定理求出c长时有两解.【思路点拨】①求导数得（0，+）增函数且f(e).f(3)<0,正确,根据余弦定理求出c长时有两解.三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.【题文】16.（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，求的最大值，并求此时对应的的值.【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案】(1)T=，单调递减区间为（2）当x=取得最大值为1【解析】(1)f(x)====sin(2x-),周期T=，因为cosx,所以，当2x-即，时单调递减f(x)的单调递减区间为，-12-\n（2）当，，sin,当x=取得最大值，故当x=取得最大值为1.【思路点拨】，时单调递减，f(x)的单调递减区间为，。，sin,求得。【题文】17.（本小题满分12分）2022年元旦联欢晚会某师生一块做游戏，数学老师制作了六张卡片放在盒子里，卡片上分别写着六个函数：分别写着六个函数：，.（1）现在取两张卡片，记事件A为“所得两个函数的奇偶性相同”，求事件A的概率；（2）从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是奇函数则停止抽取，否则继续进行，记停止时抽取次数为，写出的分布列，并求其数学期望.【知识点】离散型随机变量及其分布列K6【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意得是奇函数，为偶函数，为非奇非偶函数，所以P（A）==,(2)由题意可知，的所有可能取值为1,2,3,4P()=,P(2)=,P()==,P()=所以的分布列为：1234P-12-\n所以E=1++3+4=【思路点拨】由是奇函数，为偶函数，为非奇非偶函数，得P（A）==,P()=,P(2)=,P()==,P()=，所以E=1++3+4=【题文】18.（本小题满分12分）如图所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，AF//DE,DE=2AF，BE与平面ABCD所成角的正切值为.（1）求证：AC//平面EFB；（II）求二面角的大小.【知识点】单元综合G12【答案】（I）略（II）【解析】（I）证明：设AC，BD交于O，取EB中点G，连结FG，GO，在△BDE中，OG平行且等于DE，FA平行且等于DE，∴OG平行且等于FA，即四边形FAOG是平行四边形，∴FG∥AO，又AO⊄平面EFB，FG⊂平面EFB，∴直线AC∥平面EFB．（II）解：分别以AD，DC，DE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz-12-\n由题意知：B（2，2，0），E（0，0，2），F（2，0，1），A（2，0，0），∴=(0，-2，1)，=（-2，-2，2），=(-2，0，2)，=(0，2，0)，设平面AEB的法向量=(x，y，z)，则，∴，取x=1，得=（1，0，1），设平面FBE的法向量=(x1，y1，z1)，则，取y1=1，得=(1，1，2)，设二面角F-BE-A的大小为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=，∴二面角F-BE-A的大小为．【思路点拨】（I）设AC，BD交于O，取EB中点G，连结FG，GO，由已知条件推导出四边形FAOG是平行四边形，由此能证明直线AC∥平面EFB．（II）分别以AD，DC，DE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角F-BE-A的大小．【题文】19.（本小题满分12分）已知数列中，（常数），是其前项和，且.（I）试确定数列是否为等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由；（II）令.【知识点】单元综合D5【答案】（Ⅰ）an=（n-1）t．（II）略【解析】（Ⅰ）解：令Sn=中n=1，即得a=0，Sn==，即有2Sn=nan，又有2Sn-1=（n-1）an-1（n≥2）两式相减得：2an=nan-（n-1）an-1（n≥2），即（n-2）an=（n-1）an-1（n≥2），于是（n-3）an-1=（n-2）an-2，（n-4）an-2=（n-3）an-3，…，a3=2a2（n≥3），以上n-4个等式相乘得：an=（n-1）a2=（n-1）t（n≥3），经验证a1，a2也适合此式，所以数列{an}是等差数列，其通项公式为an=（n-1）t．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得Sn=，从而可得bn=+=2+2(-)＞2，故b1+b2+…+bn＞2n；b1+b2+…+bn=2n+2[（1-）+（-）…+(-)]=2n+2（1+--）＜2n+3，综上有，2n＜b1+b2+…+bn＜2n+3．（n∈N*）-12-\n【思路点拨】（Ⅰ）由递推式，再写一式，两式相减，可得（n-2）an=（n-1）an-1（n≥2），再用叠乘法，可得数列{an}是等差数列，从而可求通项公式；（Ⅱ）确定得bn=+=2+2(-)，利用裂项法，即可证得结论．【题文】20.（本小题满分13分）设.（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）当时，求实数的取值范围，使得对任意恒成立.【知识点】导数的应用B12【答案】(1)x-ey=0（2）a≤0时在（0，+∞）为增函数，a>0时（0，a）为减函数在（a,+）为增函数（3）0<m<e【解析】(1)=,由导数的几何意义可知，k=,所以切线方程为y-1=(x-e),x-ey=0(2)g(x)=lnx+,==(其中x>0)当a≤0时,在（0，+∞）上>0此时g(x)在（0，+∞）为增函数，当a>0时,在（0，a）上<0此时g(x)（0，a）为减函数，在（a,+）上>0，此时g(x)在（a,+）为增函数，综上所述：a≤0时在（0，+∞）为增函数，a>0时（0，a）为减函数在（a,+）为增函数（3）当a=1时，g(x)=lnx+,不等式lnm+-lnx-<,即lnm<lnx+,只需lnm小于lnx+的最小值即可。由(2)可知，h(x)=nx+在（0,1）单调递减，在（1，+）单调递增，所以当x=1时h(1)最大为1，过lnm<1,可得0<m<e.【思路点拨】k=,所以切线方程为y-1=(x-e),x-ey=0,当a≤0时,在（0，+∞）上>0此时g(x)在（0，+∞）为增函数，当a>0时,在（0，a）上<0此时g(x)（0，a）为减函数，在（a,+）上>0，此时g(x)在（a,+）为增函数,当a=1时，g(x)=lnx+,不等式lnm+-lnx-<,即lnm<lnx+,只需lnm小于lnx+的最小值即可。【题文】21.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率，点A为椭圆上一点，.-12-\n（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q.问：在轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【知识点】椭圆及其几何性质H5【答案】(1)（2）（1,0）【解析】(1)由可得，S==可得，=4在中由余弦定理有=，可得=3，所以=4，=1，则所以椭圆方程为（2）设P(),由得，=-，=，P(-,)由得Q（4,4k+m）。假设存在点M，坐标为（）则(--,),因为以PQ为直径的圆过点M，所以.=0则=0对于任意的k,m都成立，解得=1，故存在定点M（1,0）符合题意。【思路点拨】由余弦定理有=所以椭圆方程为.=0则=0对于任意的k,m都成立，解得=1，故存在定点M（1,0）符合题意。-12-