2022-2022学年山东省淄博六中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1．设全集U=R，集合M={x2+2x﹣3≤0}，N={x|﹣1≤x≤4}，则M∩N等于()A．{x|1≤x≤4}B．{x|﹣1≤x≤3}C．{x|﹣3≤x≤4}D．{x|﹣1≤x≤1}2．全称命题：∀x∈R，x2＞0的否定是()A．∀x∈R，x2≤0B．∃x∈R，x2＞0C．∃x∈R，x2＜0D．∃x∈R，x2≤03．设a=30.3，b=logπ3，c=log0.3e，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．c＜a＜b4．已知函数f（x）=若f（a）=，则a=()A．﹣1B．C．﹣1或D．1或5．“x（x﹣5）＜0成立”是“|x﹣1|＜4成立”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，那么所得的图象对应的函数解析式是()A．y=sin2xB．y=cos2xC．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）7．设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间()A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=()A．B．C．﹣D．﹣9．函数f（x）=2x﹣tanx在上的图象大致为()A．B．C．D．17\n10．已知定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，则f=()A．0B．2022C．3D．﹣2022二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．已知||=1，||=6，•（﹣）=2，则向量与的夹角为__________．12．在一座20m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为__________．13．由曲线y=3﹣x2和直线y=2x所围成的面积为__________．14．已知点P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=﹣，则x的值为__________．15．已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x），则不等式的解集为__________．三、解答题：（本大题共6小题，共75分.）16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足（2b﹣c）cosA=acosC．（1）求角A的大小；（2）若，求．17．已知函数f（x）=2asinωxcosωx+2cos2ωx﹣（a＞0，ω＞0）的最大值为2，且最小正周期为π．（I）求函数f（x）的解析式及其对称轴方程；（II）若f（α）=，求sin（4α+）的值．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，E、F分别为BD、PD的中点，EA=EB=AB=1，PA=2．（Ⅰ）证明：PB∥面AEF；（Ⅱ）求面PBD与面AEF所成锐角的余弦值．17\n19．设数{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．20．（13分）某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a（1≤a≤3）元的管理费，预计当每件商品的售价为x（7≤x≤9）元时，一年的销售量为（10﹣x）2万件．（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；（Ⅱ）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值．21．（14分）已知函数f（x）=lnx．（Ⅰ）若直线y=x+m与函数f（x）的图象相切，求实数m的值；（Ⅱ）证明曲线y=f（x）与曲线y=x﹣有唯一公共点；（Ⅲ）设0＜a＜b，比较与的大小，并说明理由．17\n2022-2022学年山东省淄博六中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1．设全集U=R，集合M={x2+2x﹣3≤0}，N={x|﹣1≤x≤4}，则M∩N等于()A．{x|1≤x≤4}B．{x|﹣1≤x≤3}C．{x|﹣3≤x≤4}D．{x|﹣1≤x≤1}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合．【分析】利用一元二次不等式解法化简集合M，再利用交集运算即可得出M∩N．【解答】解：由U=R，M={x2+2x﹣3≤0}={x|﹣3≤x≤1}，N={x|﹣1≤x≤4}，则M∩N={x|﹣3≤x≤1}∩{x|﹣1≤x≤4}={x|﹣1≤x≤1}．故选：D．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．2．全称命题：∀x∈R，x2＞0的否定是()A．∀x∈R，x2≤0B．∃x∈R，x2＞0C．∃x∈R，x2＜0D．∃x∈R，x2≤0【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题：∀x∈R，x2＞0的否定是：∃x∈R，x2≤0．故选D．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．3．设a=30.3，b=logπ3，c=log0.3e，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】考查函数y=3x，y=logπx，y=log0.3x的单调性，借助于0和1，对a、b、c比较大小．【解答】解：∵y=3x是定义域上的增函数，∴a=30.3＞30=1，又∵y=logπx是定义域上的增函数，∴0=logπ1＜logπ3＜logππ=1，又∵y=log0.3x是定义域上的减函数，∴c=log0.3e＜log0.31=0，∴c＜b＜a；故选：B．【点评】本题考查了函数数值大小的比较，解题时借助指数函数对数函数的单调性进行判定，是基础题．17\n4．已知函数f（x）=若f（a）=，则a=()A．﹣1B．C．﹣1或D．1或【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．【分析】按照分段函数的分类标准，在各个区间上，构造求解，并根据区间对所求的解，进行恰当的取舍．【解答】解：令f（a）=则或，解之得a=或﹣1，故选：C．【点评】已知函数值，求对应的自变量值，是根据方程思想，构造方程进行求解．对于分段函数来说，要按照分段函数的分类标准，在各个区间上，构造求解，并根据区间对所求的解，进行恰当的取舍．5．“x（x﹣5）＜0成立”是“|x﹣1|＜4成立”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】由x（x﹣5）＜0⇒0＜x＜5，|x﹣1|＜4⇒﹣3＜x＜5，知“x（x﹣5）＜0成立”⇒“|x﹣1|＜4成立”．【解答】解：∵x（x﹣5）＜0⇒0＜x＜5，|x﹣1|＜4⇒﹣3＜x＜5，∴“x（x﹣5）＜0成立”⇒“|x﹣1|＜4成立”，∴“x（x﹣5）＜0成立”是“|x﹣1|＜4成立”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题考查必要条件、充分分条件、充要条件的判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式的合理运用．6．将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，那么所得的图象对应的函数解析式是()A．y=sin2xB．y=cos2xC．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．17\n【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得f（x﹣）的解析式，从而可得答案．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+），∴将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得：f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣），所得的图象对应的函数解析式是y=sin（2x﹣），故选D．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于中档题．7．设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间()A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题．【分析】由已知“方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号．【解答】解析：∵f（1.5）•f（1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选B．【点评】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点．8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=()A．B．C．﹣D．﹣【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点∵=2，=，∴=，17\n∴λ=，故选A．【点评】经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想，基底给定时，分解形式唯一，字母系数是被基底唯一确定的数量．9．函数f（x）=2x﹣tanx在上的图象大致为()A．B．C．D．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的图象．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意判断函数的奇偶性以及函数在x大于0时的单调性即可推出正确结果．【解答】解：因为函数f（x）=2x﹣tanx在上满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数是奇函数，故A，B不正确；又x=→0+，函数f（x）=2×﹣tan=＞0，故C正确，D不正确．故选C．【点评】本题考查函数的奇偶性与函数的单调性的应用，特值法是解答选择题的好方法．10．已知定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，则f=()A．0B．2022C．3D．﹣2022【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称⇒函数y=f（x）的图象关于y轴对称⇒y=f（x）为R上的偶函数，从而可求得f（3）=0，继而得函数y=f（x）是以6为周期的函数，从而可得f的值．【解答】解：∵函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，∴函数y=f（x）的图象关于直线x=0，即y轴对称，∴y=f（x）为R上的偶函数，又对任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3），令x=﹣3得：f（6﹣3）=f（﹣3）+f（3）=2f（3），∴f（3）=0，∴f（x+6）=f（x），∴函数y=f（x）是以6为周期的函数，∴f=f（335×6+3）=f（3）=0，故选：A．17\n【点评】本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的奇偶性与周期性的应用，属于中档题．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．已知||=1，||=6，•（﹣）=2，则向量与的夹角为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】由•（﹣）=2，得，利用向量夹角公式可求得＜＞．【解答】解：由•（﹣）=2，得﹣=2，即=3，cos＜，＞==，所以＜＞=，故答案为：．【点评】本题考查利用向量的数量积求两向量的夹角，属基础题．12．在一座20m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为20（1+）m．【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题．【分析】在直角三角形ABD中根据BD=ADtan60°求得BD，进而可得答案．【解答】解析：如图，AD=DC=20．∴BD=ADtan60°=20．∴塔高为20（1+）m．【点评】本题主要考查解三角形在实际中的应用．属基础题．13．由曲线y=3﹣x2和直线y=2x所围成的面积为．【考点】定积分．【专题】方程思想；综合法；导数的综合应用．【分析】联立由曲线y=3﹣x2和y=2x两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（﹣3，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．17\n【解答】解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为S，则S=∫﹣31（3﹣x2﹣2x）dx=故答案为：．【点评】考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力．14．已知点P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=﹣，则x的值为﹣4．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得x的值．【解答】解：∵点P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ==﹣，∴x=﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．15．已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x），则不等式的解集为{x|0＜x＜1}．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】常规题型．【分析】由已知当x＞0时，总有f（x）＞xf′（x）成立，可判断函数g（x）=为减函数，而不等式，由此得到不等式继而求出答案．【解答】解：设g（x）=，则g′（x）=，∵f（x）＞xf′（x），∴xf′（x）﹣f（x）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）为减函数，∵，x＞0，17\n∴，∴，∴，∴0＜x＜1．故答案为：{x|0＜x＜1}．【点评】本题关键是证明g（x）为减函数，然后把要求的不等式变形，利用函数的单调性解决问题．三、解答题：（本大题共6小题，共75分.）16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足（2b﹣c）cosA=acosC．（1）求角A的大小；（2）若，求．【考点】正弦定理的应用．【专题】计算题；解三角形．【分析】（1）由正弦定理可将已知转化为2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，继而可求得cosA=，从而可求得角A的大小；（2）依题意，利用向量的数量积可求得，从而可得的值．【解答】解：（1）由正弦定理可得：2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA，∴2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosA=，∴A=．（2）∵c=||=，b=||=2，∴=++2||||cosA=7+2，∴=．【点评】本题考查解三角形，着重考查正弦定理的应用，考查向量的数量积，属于中档题．17．已知函数f（x）=2asinωxcosωx+2cos2ωx﹣（a＞0，ω＞0）的最大值为2，且最小正周期为π．17\n（I）求函数f（x）的解析式及其对称轴方程；（II）若f（α）=，求sin（4α+）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）根据条件函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简即可求a和ω的值，即可求出函数的解析式和对称轴方程；（Ⅱ）根据f（a）=，利用余弦函数的倍角公式进行化简即可求sin（4α+）的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2asinωxcosωx+2cos2ωx﹣=asin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+φ）∵f（x）的最小正周期为T=π∴，ω=1，∵f（x）的最大值为2，∴=2，即a=±1，∵a＞0，∴a=1．即f（x）=2sin（2x+）．由2x+=+kπ，即x=+，（k∈Z）．（Ⅱ）由f（α）=，得2sin（2α+）=，即sin（2α+）=，则sin（4α+）=sin[2（2α+）]=﹣cos2（2α+）=﹣1+2sin2（2α+）=﹣1+2×（）2=﹣．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键．同时也考查三角函数倍角公式的应用．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，E、F分别为BD、PD的中点，EA=EB=AB=1，PA=2．（Ⅰ）证明：PB∥面AEF；（Ⅱ）求面PBD与面AEF所成锐角的余弦值．17\n【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】空间向量及应用．【分析】（Ⅰ）由题设条件推导出EF∥PB，由此能证明PB∥面AEF．（Ⅱ）由题设条件推导出∠ABE=60°，∠ADE=∠DAE，从而得到BA⊥AD．分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立坐标系，利用向量法能求出面PBD与面AEF所成锐角的余弦值．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵E、F分别为BD、PD的中点，∴EF∥PB…∵EF⊂面AEF，PB⊄面AEF∴PB∥面AEF…（Ⅱ）解：∵EA=EB=AB=1∴∠ABE=60°又∵E为BD的中点∴∠ADE=∠DAE∴2（∠BAE+∠DAE）=180°解得∠BAE+∠DAE=90°，∴BA⊥AD…∵EA=EB=AB=1，∴，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立坐标系由题设条件知：∴…设、分别是面PBD与面AEF的法向量则，∴17\n又，∴…∴．∴面PBD与面AEF所成锐角的余弦值为．…【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．19．设数{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．【考点】等差关系的确定；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比关系的确定．【专题】计算题．【分析】（1）求数列{an}，{bn}的通项公式，先要根据已知条件判断数列是否为等差（比）数列，由a1=1，an+1=2Sn+1，得到数列{an}为等比数列，而由数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，得数列{bn}是一个等差数列．求出对应的基本量，代入即可求出数列{an}，{bn}的通项公式．（2）由（1）中结论，可得，即数列{cn}的通项公式可以分解为一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，则可以用错位相消法，求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），两式相减得an+1﹣an=2an，an+1=3an（n≥2）．又a2=2S1+1=3，17\n所以a2=3a1．故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．所以an=3n﹣1．由点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，所以bn+1﹣bn=2．则数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．则bn=1+（n﹣1）•2=2n﹣1（Ⅱ）因为，所以．则，两式相减得：．所以=．【点评】解决等差数列与等比数列的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算．20．（13分）某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a（1≤a≤3）元的管理费，预计当每件商品的售价为x（7≤x≤9）元时，一年的销售量为（10﹣x）2万件．（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；（Ⅱ）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用．【专题】应用题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）根据条件建立利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；（Ⅱ）利用导数求利润函数的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题得该连锁分店一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为L（x）=（x﹣4﹣a）（10﹣x）2，x∈[7，9]．（Ⅱ）求函数的导数L'（x）=（10﹣x）2﹣2（x﹣4﹣a）（10﹣x）=（10﹣x）（18+2a﹣3x），令L′（x）=0，得或x=10，∵1≤a≤3，∴．①当，即时，∴x∈[7，9]时，L'（x）≤0，L（x）在x∈[7，9]上单调递减，故L（x）max=L（7）=27﹣9a．17\n②当，即时，∴时，L′（x）＞0；时，L'（x）＜0，∴L（x）在上单调递增；在上单调递减，故．答：当每件商品的售价为7元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为27﹣9a万元；当每件商品的售价为元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为万元．【点评】本题主要考查函数的应用问题，利用导数解决生活中的优化问题，考查学生应用能力．21．（14分）已知函数f（x）=lnx．（Ⅰ）若直线y=x+m与函数f（x）的图象相切，求实数m的值；（Ⅱ）证明曲线y=f（x）与曲线y=x﹣有唯一公共点；（Ⅲ）设0＜a＜b，比较与的大小，并说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）设切点为（x0，y0），由k=f′（x0）=1求解．（Ⅱ）构造函数=，对其求导，讨论其单调性，结合着h（1）=0证明该命题．（Ⅲ）欲比较=与的大小，注意到b﹣a＞0，也就是比较与的大小，再进行作差变形，=，构造函数φ（x）=，（x＞1），求导研究其在（1，+∞）上的性质．17\n【解答】解：（Ⅰ），设切点为（x0，y0），则，∴x0=1，y0=lnx0=0，代入y=x+m．得m=﹣1．（Ⅱ）令=，则=＜0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减．又h（1）=ln1﹣1+1=0，∴x=1是函数h（x）唯一的零点，故点（1，0）是两曲线唯一的公共点．（Ⅲ）==，要比较=与的大小，∵b﹣a＞0，∴只要比较与的大小．∵=，构造函数φ（x）=，（x＞1）则φ′（x）==，显然φ′（x）＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上单调递增．又当x=1时，φ（1）=0，∴当x＞1时，φ（x）＞0，即＞0．则有＞0，即＞成立．17\n即得＞．【点评】本题属于中等偏难的题型，特别是第三问的处理，“转化”思想体现的尤为明显，对于差式=，其中的代数变换是构造合适函数的关键，使得问题迎刃而解．17
