数学文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页.满分150分，考试时间120分钟.考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回.第Ⅰ卷选择题（共50分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知是虚数单位，若，则的虚部为A.B.C.D.2.已知集合，，则A.B.C.D.3.设是两个实数，命题“中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是A.B.C.D.4.右边程序框图中，若输入，，则输出的值分别是A.B.C.D.5.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于A.B.C.D.6.已知,，＝-12-A.B.C.D.7.定义：，若函数，将其图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是A.B.C.D.8.右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为A.B.[]C.D.9.已知函数则的大致图象是10.已知是内的一点（不含边界），且若的面积分别为，记，则的最小值为A.B.C.D.第Ⅱ卷非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．-12-11.向面积为的内任投一点,则的面积大于的概率为．12.设满足约束条件,则的最大值为．13.对大于的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：仿此，若的“分裂”数中有一个是，则的值为.14.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的动点，点为其准线上的动点，若为边长是的等边三角形，则此抛物线方程为.15.已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有个零点，则实数的取值范围是．解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）在中，所对的边分别,,.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.17.（本小题满分12分）某厂家生产甲、乙、丙三种样式的杯子，每种杯子均有和两种型号，某月的产量（单位：个）如下表所示：型号甲样式乙样式丙样式按样式用分层抽样的方法在这个月生产的杯子中随机的抽取个，其中有乙样式的杯子-12-个.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在甲样式的杯子中抽取一个容量为的样本，从这个样本中任取个杯子，求至少有个的杯子的概率.18.（本小题满分12分）已知数列是等比数列，首项，公比，其前项和为，且，，成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，为数列的前项和，若恒成立，求的最大值.19.（本小题满分12分）如图所示，已知在四棱锥中,∥,,，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）试在线段上找一点，使∥平面,并说明理由；（Ⅲ）若点是由（Ⅱ）中确定的，且，求四面体的体积．20.（本小题满分13分）已知函数.-12-（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；（Ⅲ）若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围.21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，的两个顶点的坐标分别是，点是的重心，轴上一点满足，且．（Ⅰ）求的顶点的轨迹的方程；（Ⅱ）不过点的直线与轨迹交于不同的两点.若以为直径的圆过点时，试判断直线是否过定点？若过，请求出定点坐标，不过，说明理由．-12-高三文数学参考答案2022.3二、11.12.13.14.15.三、16．解：（Ⅰ），，，即，得.………3分,或(不成立).………4分即,得，，………5分，则，或（舍去）………6分.………8分（Ⅱ）………10分又,即，………12分17.解：（Ⅰ）设该厂本月生产的甲样式的杯子为个，在丙样式的杯子中抽取了个，由题意，……3分在甲样式的杯子中抽取了个，，解得，.………6分-12-（Ⅱ）设所抽样本中有个的杯子，，.………8分也就是抽取的个样本中有个的杯子，分别记作;个的杯子，分别记作.………9分则从中任取个的杯子的所有基本事件为,,,,,,,,,，共个.…10分其中至少有个的杯子的基本事件有,,,,,,,共个；………11分至少有个的杯子的概率为.………12分18.解：（Ⅰ）法一：由题意可知：，即，于是，，；………3分，.………4分（Ⅰ）法二：由题意可知：当时，不符合题意；………1分当时，，，，，………2分，,………3分-12-，.………4分（Ⅱ），，，………5分（1）（2）得：………6分………8分恒成立，只需………9分为递增数列，当时，，………11分，的最大值为.………12分19.解：（Ⅰ）连接，过作,垂足为，又已知在四边形中，,∥,，∴四边形是正方形．1分∴．又∵，∴．∴．∴∠．∴．2分又∵，，∴平面．4分（Ⅱ）当为中点时，平面．5分证明：取中点为，连接．则∥，且-12-∵∥,，∴∥，．∴四边形为平行四边形，∴∥．∵平面,平面，∴∥平面.8分（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）知，平面，为中点，所以点到平面的距离等于,．9分在三角形中，所以在三角形中，10分在中是11分12分法二：也可以利用.需证明,如没有证明，需要扣1分.20.解：（Ⅰ）当时，，，切点，……1分，，……3分曲线在点处的切线方程为：，即.……4分（Ⅱ），定义域为，……5分①当，即时，令，令，……6分②当，即时，恒成立，……7分-12-综上：当时，在上单调递减，在上单调递增．当时，在上单调递增．……8分（Ⅲ）由题意可知，在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值．……9分由第（Ⅱ）问，①当，即时，在上单调递减，，，，；……10分②当，即时，在上单调递增，，……11分③当，即时，，，此时不存在使成立．……12分综上可得所求的范围是：或．………………13分21．解：（Ⅰ）设点坐标为因为为的重心故点坐标为…………2分由得，…………3分即-12-的顶点的轨迹的方程是…………5分（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时：设直线：，……6分与的交点为，联立：，得，若以为直径的圆过点时，则有，即，（舍去）或，直线过定点.……8分②法一：当直线的斜率存在时：设直线的两交点为联立：消去得：……9分且…………10分-12--12-
