山东省招远一中2022-2022学年高二数学上学期10月月考试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．在等差数列{an}中，前n项和为Sn，S10＝90，a5＝8，则a4＝( )A．16B．12C．8D．62．在等比数列{an}中，若an＞0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( )A．16B．81C．36D．273．数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2012等于( )A．1006B．2012C．503D．04．一个首项为23，公差为整数的等差数列中，前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差d为( )A．－2B．－3C．－4D．－55．已知，（），则在数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别是（）A．B．C．D．6．已知四个实数成等差数列，－4，，，，－1五个实数成等比数列，则（ ）A．1B．2C．－1D．±17．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4－2＋3a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b3b8b10＝( )A．1B．8C．4D．217\n8．已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为A．或5B．或5C．D．9．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )A．n(n＋1)B．n(n－1)C．D．10．在等差数列前项和为，若，则的值为（）A．9B．12C．16D．1711．在各项均为正数的对比数列中，公比，若，，数列的前项和为，则当取得最大值时，的值为（）A．B．C．或D．12．若{an}是等差数列，首项a1>0，a1007＋a1008>0，a1007·a1008<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是( )A．2012B．2013C．2014D．201517\n第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．在等差数列{an}中，，那么的值是_________．14．下面有四个结论:①若数列的前项和为(为常数),则为等差数列;②若数列是常数列,数列是等比数列,则数列是等比数列;③在等差数列中,若公差,则此数列是递减数列;④在等比数列中,各项与公比都不能为.其中正确的结论为__________(只填序号即可).15．数列中，若，则______．16．等比数列的各项均为正数，且，则_____.三、解答题17．设等差数列的前项和为，且满足，．（）求的通项公式．（）求的前项和及使得取到最大值时的值并求出的最大值．18．设数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且，求数列的通项公式．19．设正项等比数列的前项和为，且满足，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列，求的前项和.17\n20．正项等差数列中，已知，，且，，构成等比数列的前三项.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.21．根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？22．设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的，都有．（）写出数列的前项．（）求数列的通项公式（写出推证过程）．（）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数的值．17\n高二数学参考答案1．D【解析】【分析】根据已知得到关于a1，d的方程组，解方程组得a1，d，即得a4的值.【详解】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则解得∴a4＝a1＋3d＝0＋3×2＝6.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查等差数列的前n项和和通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)等差数列的前项和公式：一般已知时，用公式，已知时，用公式2．D【解析】【分析】根据已知条件得到关于的方程组，解方程组即得，即得a4＋a5的值.【详解】设等比数列{an}的公比为q且q＞0，由已知得⇒q2＝9⇒q＝3，所以a1＝，所以a4＋a5＝×33＋×34＝＝27.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)17\n等比数列的通项公式：.3．A【解析】【分析】先计算出a1＋a2＋a3＋a4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝2，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝2，再利用数列和的周期性求S2012.【详解】由题意知，a1＋a2＋a3＋a4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝2，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝2，k∈N，故S2012＝503×2＝1006.故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查数列的求和，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题发现归纳出数列和的周期性是解题的关键.4．C【解析】【分析】先写出数列的通项an＝23＋(n－1)d，再解不等式组即得d的值.【详解】设通项公式为an＝23＋(n－1)d，由题意列不等式组解得－＜d＜－.∵d是整数，∴d＝－4.故答案为：C【点睛】本题主要考查等差数列的通项和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.5．C【解析】17\n【分析】根据函数单调性确定数列｛｝的前50项中最小项和最大项.【详解】因为在上单调减，在单调减，所以当时，此时，当时，此时，因此数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别为，选C.【点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用对应函数性质，如等差数列通项与一次函数，等差数列和项与二次函数，等比数列通项、和项与指数函数.本题利用了函数性质.6．C【解析】【分析】等差数列性质可求得公差，由等比数列性质可求得，代入式子即可求得结果.【详解】由等差数列性质：公差，由等比数列性质：，解得：，由等比数列性质可知与同号，所以，代入式子得：.故选C.【点睛】本题考查等差数列与等比数列性质，求等差数列时容易出现多解的情况，要根据等比数列的要求与性质进行求解，通常隔一项符号相同.7．B【解析】，17\n选B.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.8．C【解析】试题分析：设等比数列的公比为，因为，所以，解之得，所以数列是以为公比、为首项的等比数列，所以其前项的和为，故选C.考点：等比数列的定义与性质.9．A【解析】【分析】由首项与公差表示各项，根据等比中项列式，解出首项，由等差数列前n项和公式，即可求得.【详解】由等差数列通项公式可知：，，，根据等比中项公式列式：，解得：，由前n项和公式可得：.故选A.【点睛】本题考查等差数列通项公式、前n项和以及等比中项公式，直接用首项及公差表示各项，列方程式即可，最后代入前n项和公式，列式时注意不要将等差数列与等比数列概念混淆.10．A17\n【解析】∵，∴得：，，故选A.11．C【解析】∵为等比数列，公比为，且∴∴，则∴∴∴，∴数列是以4为首项，公差为的等差数列∴数列的前项和为令当时，∴当或9时，取最大值.故选C点睛：（1）在解决等差数列、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：一是利用基本量将多元问题简化为一元问题；二是利用等差数列、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差数列、等比数列问题的快捷方便的工具；（2）求等差数列的前项和最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解；②邻项变号法：当17\n时，满足的项数使得取得最大值为；当时，满足的项数使得取得最小值为.12．C【解析】∵等差数列，首项，，，∴，，如若不然，，则，而，得，矛盾，故不可能，∴使前项和成立的最大自然数为2022，故选C.13．24【解析】【分析】应用等差数列的性质计算即可.【详解】在等差数列{an}中，，即答案为24.【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属基础题.14．③④【解析】【分析】根据等差数列通项公式得数列单调性确定于公差正负，根据等差数列和项特点确定①真假，根据等比数列各项不为零的要求可判断②④真假.【详解】因为公差不为零的等差数列单调性类似于直线，所以公差,则此数列是递减数列;③正确；因为等差数列和项中常数项为零，即中所以①不对，因为等比数列各项不为零，所以②中若数列是为零的常数列,则不是等比数列;②不对，④正确，即正确的结论为③④.17\n【点睛】等差数列特征：为的一次函数；；等比数列特征：各项以及公比都不为零，为的类指数函数，.15．【解析】【分析】根据已知条件，确定数列为常数数列，即可求出结果.【详解】，则.故答案为.【点睛】本题考查根据递推公式计算数列的通项公式的方法，考查转换思想和计算能力.16．5.【解析】【分析】先由等比数列的性质求出，再根据性质化简，代入即可求出答案．【详解】由题意知，且数列的各项均为正数，所以，，．【点睛】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易．17．(1)；(2)答案见解析.17\n【解析】试题分析：（）由题意结合数列的通项公式和前n项和公式得到关于首项、公差的方程组，求解方程组可得，则数列的通项公式为．（）由前n项和公式可得的前项和，结合二次函数的性质和可知当或时，取得最大值55.试题解析：（）设等差数列的首项为，公差为，∵，，∴，解得，∴数列的通项公式为．（）的前项和，对称轴，∵，∴当或时，取得最大值，．18．（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由已知数列递推式求出首项，得到当时，，与原递推式作差后可得数列是以为首项，以17\n为公比的等比数列．再由等比数列的通项公式得答案；（2）由（1）可得，由累加法可求其通项公式．试题解析：（1）解：当时，，则，当时，，则，∴，所以，数列是以首相，公比为，而；（2）∵，∴，当时，，又满足，∴；考点：（1）数列递推式；（2）数列的通项公式；（3）数列求和.【方法点晴】本题考查了数列的通项公式，考查了数列的求和，关键是会用累加法求通项公式和数列的错位相减法求和，难度适中；解题中，在利用这一常用等式以及时，用累加法求其通项公式；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.19．(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】【分析】17\n(1)根据等比数列通项公式化简条件解得公比，再根据求数列的通项公式；(2)先化简，再根据绝对值定义分类求.【详解】（Ⅰ）设正项等比数列的公比为，则且由已知有，即故或（舍）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：故当时，当时，当时，.【点睛】本题考查等差数列与等比数列基本量运算，考查基本求解能力.20．(1)，.(2).【解析】【分析】（1）由题意结合数列的性质可得数列的公差，则，结合的通项公式可得.（2）结合(1)中取得的结果错位相减可得数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，则由已知得：，即，17\n又，解得或（舍去），，所以，又，，所以，所以.（2）因为，，两式相减得，则.【点睛】一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．21．（1）935；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）计算和的前项和的差即可得出答案；（2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论.试题分析：（1）（2），即第42个月底，保有量达到最大，∴此时保有量超过了容纳量.22．（1），，（2）（3）的最小值是．【解析】分析：（1）在中，令，求；令，求；令，可求；（2）根据与的固定关系，得，化简整理可得17\n是首项为，公差为的等差数列，从而可得结果；（3）把（2）题中的递推关系式代入，根据裂项相消法求得，可得，解不等式即可得到对所有都成立的最小整数.详解：（）时，∴；时，∴；时，∴．（）∵，∴，两式相减得：即，也即，∵，∴，即是首项为，公差为的等差数列，∴，（3），．∵对所有都成立，∴即．故的最小值是．点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）17\n；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.17
